Криволинейные интегралы второго типа
точку и вычислим значение функции в каждой такой точке. Обозначим через проекцию частичной дуги на ось Ox и составим сумму , которая называется интегральной суммой для функции f(x,y) по координате x. Обозначим наибольшую из проекций частичных дуг на ось Ox через λ: .
Аналогично вводится понятие криволинейного интеграла для функции z=f(x,y) по координате y: . Если на кривой (AB) заданы две функции z=P(x,y) и z=Q(x,y) и существуют интегралы и , то их сумма + называется криволинейным интегралом по координатам по кривой (AB) и обозначается: . Основные свойства криволинейного интеграла второго типа. 1. Ориентированность: знак криволинейного интеграла изменится на противоположный, если изменить направление интегрирования, т.е. . 2. Если кривую (L), по которой производится интегрирование, разбить на несколько частей (L1), (L2),…,(Ln), то криволинейный интеграл по кривой (L) будет равен сумме криволинейных интегралов по отдельным ее частям, взятых в том же направлении: 3. Если контур (L) – замкнутый, то величина криволинейного
. 4. Если область (D), ограниченную замкнутым контуром (L) разбить на 2 области (D1) и (D2), то криволинейный интеграл по (L) в некотором направлении будет равен сумме криволинейных интегралов по контурам (L1) (L2), ограничивающим соответственно области , взятых в том же направлении:
Вычисление криволинейных интегралов второго типа. Криволинейный интеграл первого типа можно преобразовать к обыкновенному определенному интегралу. 1. Пусть кривая (L) задана параметрически , причем функции непрерывны вместе со своими производными, а при изменении t от α до β соответствующая точка (x,y) пробегает кривую (L) от точки A (при t = α) до точки B (при t = β). Тогда
. 2. Пусть теперь кривая (L) задана уравнением , а функция непрерывна вместе со своей производной. Тогда, считая параметром переменную x, получаем: , причем точка А имеет координаты (a,f(a)), а B (b,f(b)). Пути интегрирования с началом в точке А и концом в точке В могут быть различными. В общем случае значение криволинейного интеграла второго типа зависит от выбранного пути интегрирования. Особый интерес представляет случай вычисления криволинейного интеграла второго типа, когда путь интегрирования (L) имеет вид, изображенный на рис. 21 и 22.
, . Если начало и конец пути интегрирования совпадают, то говорят о криволинейном интеграле по замкнутому контуру. Пример 15. Вычислить криволинейный интеграл от точки А(1, 0) до точки В(0, 2) по прямой . Решение.
изменяется от 1 до 0, получим: . Ответ. 1. Пример 16. Вычислить криволинейный интеграл , где (L) – верхняя половина эллипса . Интегрировать в направлении против хода часовой стрелки. Решение. Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t, а затем вычислим его. Из уравнения эллипса в параметрической форме , найдем , . По условию задачи t изменяется от 0 до π. Тогда . Ответ. – 48.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (784)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |