Приложения двойного интеграла
Вычисление объема тела Согласно геометрическому смыслу двойной интеграл выражает объем цилиндрического бруса, ограниченного сверху поверхностью f(x,y), снизу – областью (D), лежащей в плоскости Oxy, с боков – цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей является кривая, ограничивающая область (D). Пример 8. Найти объем тела, ограниченного поверхностями , . Решение.
Для вычисления двойного интеграла перейдем к повторному интегралу с внутренним интегрированием по переменной x и внешним – по переменной y. Для определения пределов интегрирования восстановим отдельно область
. Ответ. (куб. ед.) Пример 9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями . Решение.
будет и уравнением проекции линии L на плоскость xOy – окружности L1, ограничивающей область (D). Объем искомого тела можно найти как разность объемов двух вертикальных цилиндрических тел, которые имеют общее нижнее основание (D) на плоскости xOy, а сверху ограничены данными поверхностями. . Для упрощения вычисления интеграла преобразуем его к полярным координатам. Полагаем , тогда подынтегральная функция примет вид: . Область интегрирования (D) ограничена окружностью , уравнение которой в полярных координатах: . Из рис.12 следует, что переменная r изменяется от 0 до , а переменная φ от 0 до 2π. Используя формулу перехода к полярным координатам в двойном интеграле, получим: . Ответ. (куб. ед.)
Вычисление площадей плоских фигур. Двойной интеграл по квадрируемой области (D) в случае равен объему цилиндрического бруса с высотой 1, что численно совпадает с площадью S области (D), то есть . Пример 10. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями . Решение.
область пересечения окружностей, расположенную в первой четверти. Площадь полученной фигуры будем находить по формуле: Для вычисления двойного интеграла перейдем к повторному интегралу с внутренним интегрированием по переменной y и внешним – по переменной x. Для определения пределов интегрирования по переменной x найдем абсциссу точки пересечения окружностей. Решив систему, получим координаты точки пересечения окружностей . Таким образом, переменная x изменяется от 0 до . Для определения пределов внутреннего интеграла проведем через область (D) луч, параллельный оси Oy и сонаправленный с ней. Из чертежа следует, что точка входа луча в область (D) лежит на полуокружности, уравнение которой , а точка выхода – на окружности . Эти уравнения являются нижним и верхним пределами внутреннего интеграла соответственно. В итоге получим: Для вычисления используем метод интегрирования по частям . Таким образом, . Разрешая это уравнение относительно , получим: . Откуда . Возвращаемся к исходному интегралу: . Ответ. (кв. ед.) Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , . Решение.
Переведем в полярные координаты уравнения прямых: , ; , . Таким образом переменная r изменяется от до , а переменная φ от до . Вычисляем площадь: . Ответ. (кв. ед.)
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (813)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |