Центр масс механической системы

При рассмотрении движения механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс. Пусть система состоит из конечного числа материальных точек n с массами

Рис. 3.4

Центром масс механической системы называется геометрическая точка C (рис. 3.4), радиус-вектор которой определяется выражением

(3.12)

где – радиус–вектор k-й точки; – масса механической системы.

Спроектировав равенство (3.12) на оси координат, определим координаты центра масс:

Для тел малых размеров, находящихся вблизи поверхности Земли, можно принять, что где – вес k-й точки, и тогда выражение для радиус–вектора центра масс принимает вид

С достаточной степенью точности можно считать, что центр масс совпадает с центром тяжести механической системы.

Векторная величина называется статическим моментом массы относительно точки О.

Скалярные величины называются статическими моментами массы относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy, соответственно.

Если механическая система представляет собой сплошную среду, например, абсолютно твердое тело, то формула (3.12) и проекции ее на оси координат после соответствующего предельного перехода принимают вид

Для однородных сплошных тел

где r- плотность тела; dV – объем элементарной частицы; V – объем тела.

В этом случае определение центра масс тел сводится к вычислению центра масс объемов – .

Аналогично для поверхностей – , где s - площадь поверхности.

Для линий – , где l – длина отрезка линии.

Моменты инерции

Для характеристики распределения масс в телах при вращательных движениях вводят моменты инерции: осевые J_x, J_y, J_z; полярный J_o; центробежные J_xy, J_xz, J_yz.

Осевой момент инерции равен сумме произведений масс точек системы на квадрат их расстояний до соответствующей оси (рис. 3.5):

	(3.13)

Рис. 3.5

Полярный момент равен сумме произведений масс точек системы на квадрат расстояния их до центра (в данном случае до начала координат):

(3.14)

Моменты инерции измеряются в кг∙м².

Из выражений (3.13) и (3.14) следует, что

Центробежный момент инерции равен алгебраической сумме произведений массы каждой точки системы на произведение ее соответствующих координат:

Если центробежные моменты относительно какой-либо системы координат равны нулю, то оси этой системы называются главными осями инерции в начале координат. Если ось проходит через центр масс, то ось называется центральной.

Рис. 3.6

Момент инерции твердого тела относительно заданной оси, например оси Ox, можно представить в виде произведения массы тела на квадрат линейной величины, называемой радиусом инерции тела относительно этой оси:

где m – масса тела; ρ_x – радиус инерции тела относительно оси Ox.

Зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей z и одна из которых, ось проходит через центр масс C тела (рис. 3.6), устанавливает теорема Гюйгенса–Штейнера.

Теорема Гюйгенса–Штейнера. Момент инерции механической системы относительно какой-либо оси равен ее моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, плюс произведение массы системы m на квадрат расстояния между этими осями d:

Доказательство. Пусть имеем две системы прямоугольных взаимно параллельных осей координат Oxyz и (рис. 3.6). Точка C является центром масс системы. По определению осевые моменты инерции имеют вид

где m_k – масса точки M_k, а – координаты этой точки относительно систем координат Oxyz и соответственно. Эти координаты связаны соотношениями параллельного переноса

Подставим эти значения координат в выражение момента инерции J_Oz и после преобразований получим

Учтем, что – масса системы. Так как то

где d – расстояние между осями Oz и

Окончательно имеем Что и требовалось доказать.

Из теоремы следует, что для совокупности параллельных осей момент инерции является наименьшим относительно центральной оси.