Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Законы механики Галилея – Ньютона

В основу динамики положены законы (аксиомы), являющиеся обобщением практической деятельности человека. Из этих законов логически выводятся различные положения механики. Эти законы были обобщены Галилеем и Ньютоном и сформулированы применительно к материальной точке.

Первый закон Ньютона (закон инерции). Материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способностью сохранять свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения.

И в первом, и во втором случаях ускорение точки равно нулю, Такое кинематическое состояние точки называется инерциальным.

Все системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инерции, называются инерциальными.

Второй закон Ньютона (основной закон динамики). Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по этой силе (рис. 1).

Этот закон можно выразить в форме

(1)

где m положительный коэффициент, характеризующий инертные свойства материальной точки, называется массой точки. Масса в классической механике считается величиной постоянной. За единицу массы в системе СИ принят килограмм (кг); – ускорение точки; – приложенная к точке сила.

Рис. 1

Рис. 2

Массу обычно определяют по силе тяготения и ускорению свободного падения у поверхности Земли. Согласно (1), имеем

Третий закон Ньютона (закон о равенстве сил действия и противодействия). Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению (рис. 2), т.е.

Четвертый закон (закон независимости действия сил). При одновременном действии нескольких сил материальная точка приобретает ускорение, равное геометрической сумме тех ускорений, которые она приобрела бы под действием каждой из этих сил в отдельности. Таким образом, приложенные к материальной точке силы действуют на нее независимо друг от друга.

Пусть к материальной точке приложена система сил то, согласно второму закону Ньютона, ускорение от действия каждой силы определяется по выражению (1):

. (2)

Ускорение при одновременном действии всех сил

(3)

Суммируя (2) и используя (3), получаем основное уравнение динамики точки:

Но такое же ускорение точка приобретает и под действием одной силы

Так как система сил и сила сообщают точке одно и то же ускорение, то эта система сил и сила эквивалентны.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

3.1.2.1. Дифференциальные уравнения движения свободной точки

Рис. 3

Пусть на свободную материальную точку действует система сил, имеющая равнодействующую см. рис. 3. Тогда, согласно основному закону динамики,

(4)

Ускорение точки может быть представлено в виде , поэтому равенство (4) принимает вид:

. (5)

Уравнение (5) – векторное дифференциальное уравнение движения материальной точки. Если его спроектировать на оси декартовой системы координат, то получатся дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на эти оси:

(6)

При движении точки в плоскости Oxy система уравнений (6) принимает вид:

При движении точки по прямой вдоль оси Ox получаем одно дифференциальное уравнение движения:

Спроектировав равенство (5) на естественные оси координат, получим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси координат:

1.2.2. Дифференциальные уравнения движения несвободной точки

Несвободную точку на основании принципа освобождаемости от связей можно превратить в свободную, заменив действие связей их реакциями. Пусть – равнодействующая реакций связей, тогда основное уравнение динамики точки примет вид:

(7)

Спроектировав (7) на оси декартовой системы координат, получим дифференциальные уравнения движения несвободной точки в проекциях на эти оси:

(8)

Для решения задач к этим уравнениям надо добавить еще уравнения связей.

Дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси координат:

1.2.3. Дифференциальные уравнения относительного движения точки

Основное уравнение динамики точки справедливо для инерциальной системы отсчета, где ускорение является абсолютным. Согласно теореме Кориолиса абсолютное ускорение

где – ускорение переносного движения; – относительное ускорение точки по отношению к подвижной системе координат; – ускорение Кориолиса.

Подставив выражение абсолютного ускорения в основное уравнение динамики точки, получим

или

(9)

Введем обозначения: – переносная сила инерции; – кориолисова сила инерции.

Тогда уравнение (9) принимает вид

(10)

Полученное равенство выражает динамическую теорему Кориолиса.

Теорема Кориолиса. Относительное движение материальной точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим на точку силам присоединить переносную и кориолисову силы инерции.

Рассмотрим случай относительного равновесия точки Тогда и ускорение Кориолиса Подставив эти значения в уравнение (10), получим условие относительного равновесия точки:

Чтобы основной закон динамики для относительного движения точки совпадал с основным законом ее абсолютного движения, необходимо выполнение условий:

Это условие выполняется, если подвижная система координат движется поступательно прямолинейно и равномерно По отношению к данным системам отсчета, как и по отношению к неподвижным, при будет выполняться закон инерции. Поэтому все системы отсчета, движущиеся поступательно, прямолинейно и равномерно, а также покоящиеся, являются инерциальными.

Так как законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, то во всех этих системах механические явления протекают совершенно одинаково, если за начало отсчета принято одно и то же событие. Отсюда следует принцип относительности классической механики.

Принцип относительности классической механики. Никакими механическими опытами нельзя обнаружить инерциальное движение системы отсчета, участвуя вместе с ней в этом движении.