Теорема об изменении количества движения системы

Для механической системы, состоящей из n материальных точек, запишем дифференциальные уравнения движения:

где и – внешняя и внутренняя силы соответственно, приложенные к k-й точке.

Внесем массу под знак производной и просуммируем все уравнения:

Так как по свойству внутренних сил и определению количества движения системы

то приведенное соотношение представим в виде:

(3.18)

Теорема об изменении количества движения системы. Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Если уравнение (3.18) проинтегрировать по времени от нуля до t, получим теорему импульсов для системы в конечной или интегральной форме:

где – количество движения системы в момент – количество движения в момент t; – импульс внешней силы, действующей на k-ю точку.

Теорема импульсов: изменение количества движения системы за какой–либо промежуток времени равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

В проекциях на оси декартовой системы координат имеем:

Рассмотрим два частных случая.

1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю, то количество движения системы постоянно,

2. Если сумма проекций внешних сил на какую–либо ось равна нулю, то проекция количества движения на ту же ось является постоянной величиной.

Эти частные случаи являются законами сохранения количества движения системы.

Теорема о движении центра масс системы

Рис. 3.13

Следствием теоремы об изменении количества движения системы является теорема о движении центра масс системы. Количество движения системы можно вычислить по формуле (рис. 3.13). Подставив это выражение в равенство (3.18), получим

или (3.19)

где – ускорение центра масс.

Теорема о движении центра масс. Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, под действием всех внешних сил, действующих на систему.

В проекциях на оси декартовых координат равенство (3.19) принимает вид:

Если главный вектор внешних сил равен нулю, т.е. то скорость центра масс остается постоянной: Если же одна из проекций главного вектора внешних сил равна нулю, то соответствующая проекция скорости центра масс остается постоянной. Например, если то Эти положения носят название закона сохранения движения центра масс.

При поступательном движении твердого тела ускорения всех его точек одинаковы и равны ускорению центра масс. В векторной форме дифференциальное уравнение поступательного движения с учетом (3.19) имеет вид

где m – масса тела; – ускорение его произвольной точки.