Новое определение вектора
Пусть имеется вектор . Подобно тому, как точку с координатами для краткости обозначают через , вектор с компонентами обозначим через . При переходе к новой системе координат компоненты вектора преобразуются по формуле: (40) Проиллюстрируем применение символа Кронекера для обращения формулы (40). Умножим обе части (40) на : , т.е. (41) При выводе (41) мы использовали формулы (36) и (39). Формулы (40) и (41) положены в основу нового определения вектора. Определение. Вектор – это геометрический объект, который в любой прямоугольной системе координат определяется тремя числами – его компонентами, которые при преобразовании системы координат преобразуются по формулам (40) и (41). Вектор существует независимо от системы координат, он инвариантен, а вот его координаты меняются при преобразованиях системы координат. Новое определение вектора сохраняет все известные из курса линейной алгебры операции с векторами: 1) Сложение векторов: (42) 2) Сложение ассоциативно, т.е. (43) 3) Умножение вектора на скаляр: (44) 4) Дистрибутивность умножения: (45) Если компоненты вектора зависят от некоторого параметра , то производные тоже образуют вектор , который называется производной исходного вектора по . Аналогично определяется и производная более высокого порядка вектора по скалярному параметру. Рассмотрим скалярное произведение двух векторов и : (46) Докажем, что скалярное произведение – скаляр и инвариантно относительно преобразования системы координат. В новой системе координат компоненты векторов обозначим и . Тогда скалярное произведение будет равно: (47) Модуль вектора, определяемый скалярным произведением вектора самого на себя, запишется так: (48) Записывать квадрат модуля в виде нецелесообразно, т.к. при такой записи не ясно, что представляет собой немой индекс. Вектор, модуль которого равен единице, называется, как известно, единичным вектором или ортом. Направление в пространстве обычно задается единичным вектором. Рассмотрим единичный вектор . Скалярное произведение определяет проекцию на направление : (49) Поскольку компонентами единичного вектора являются направляющие косинусы , или короче , (50) то (51) Формула (51) линейна и однородна относительно направляющих косинусов. Она означает, что для любого направления в пространстве каждому вектору можно поставить в соответствие скаляр – проекцию вектора на это направление, посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Выясним, какой смысл имеют числа в (51). Совместим направление с положительным направлением оси . Тогда , а и , т.е. – это проекция вектора на направление оси . Аналогично доказывается, что и – это проекции вектора на две другие оси. Следовательно, проекция вектора на произвольное направление определяется его проекциями на три фиксированных направления координатных осей. Формула (51) будет играть в дальнейшем определяющую роль, поскольку она допускает далеко идущие обобщения. §8. Задачи. Задача 1. Старая система координат преобразуется к новой системе , заданной следующими углами: , , , . Написать матрицу преобразования и проверить ее ортогональные свойства. Решение. Имеем: , , , , , , , .
Задача 2. Пусть новая система координат получена из старой в результате вращения вокруг оси на угол против часовой стрелки. Написать матрицу преобразования. Решение.
, , ,
Тогда матрица преобразования имеет
Задача 3. Исследовать влияние преобразования координат
Вектор преобразуется по формуле (40): (55) или Таким образом, указанная инверсия изменяет только компоненту , две другие компоненты при этом не меняются. Задача 4. Найти преобразование компонент вектора при вращении, описанном в задаче 2. Решение. Используя матрицу преобразования (53) и формулу (55), получим: (56) Задача 5.. Доказать равенство (57) Решение. Имеем: Задача 6. Компоненты единичного вектора являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра . Показать, что вектор перпендикулярен вектору . Решение. Необходимо доказать, что скалярное произведение . Имеем: Задача 7. Доказать, что каждый элемент ортогональной матрицы преобразования равен своему алгебраическому дополнению, взятому со знаком плюс или минус. Решение. Матрица перехода от старой системы координат к новой имеет вид (15). Ее определитель, как было показано в параграфе 3, равен , где знак плюс берется в том случае, если старая и новая системы координат имеют одинаковую ориентацию (например, обе правые) и знак минус – в противном случае. По определению обратной матрицы имеем: где – алгебраическое дополнение элементов матрицы . С другой стороны, как было показано в параграфе 3, обратная матрица получается транспонированием прямой матрицы, т.е. и имеет вид (17). Отсюда и получаем, что . Подчеркнем еще раз, что знак плюс берется тогда, когда обе системы координат, старая и новая, имеют одинаковую ориентацию и знак минус – в противном случае. Тензор второго ранга. Вспомним задачу, приведшую нас в параграфе 1 к понятию тензора напряжений, и формулу (12). Сравним ее с формулой (51). Формула (51) любому направлению в пространстве сопоставляет скаляр , который мы назвали проекцией вектора на направление . Формула (12) идентична по структуре формуле (51), но с ее помощью любому направлению в пространстве сопоставляется не скаляр, а вектор тоже посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения. Из этого и будем исходить. Итак, пусть любому направлению в пространстве сопоставляется вектор с помощью линейного и однородного относительно направляющих косинусов соотношения: (58) Геометрический объект с таким свойством называется тензором второго ранга и обозначается . Вектор называется проекцией тензора на направление или значением тензора в этом направлении. Выясним, какой смысл имеют векторы , , в формуле (58). Для этого совместим направление с направлением оси . Тогда , , . Получаем, что проекция тензора на ось равна вектору . Аналогично, совмещая направление с направлением осей и , получим, что векторы и суть проекции тензора на оси и . Таким образом, в любой прямоугольной системе координат тензор задается тремя векторами , , – своими проекциями на базисные направления. Компоненты векторов , , в системе координат обозначим , , . Девять величин называются компонентами тензора в системе координат . Расположим их в виде матрицы: , (59) которая называется матрицей тензора. Столбцы матрицы определяют три проекции тензора на координатные оси. В другой системе координат тензор также определяется тремя проекциями , , на новые координатные оси. Проекции тензора в новой и старой системах координат связаны друг с другом. Установим эту связь. Совместим в (58) направление с направлением оси . Получим проекцию тензора на ось : (60) Совместив с направлением оси , получим , (61) и наконец: (62) Стоящие в этих формулах косинусы – это элементы матрицы преобразования . Поэтому можно переписать: (63) . Сокращенно это записывается так: , , (64) или еще короче: (65) Видим, что закон преобразования проекций тензора такой же, как закон преобразования проекций вектора. Матрица тензора в новой системе координат состоит из компонент проекций тензора на эти новые оси. Первая проекция – вектор в новой системе имеет компоненты: . Аналогично и . Составленная из них матрица: (66) называется матрицей тензора в новой системе координат. Таким образом, матрица тензора в старой системе состоит из компонент проекций тензора на старые оси, а в новой системе – из компонент проекций тензора на новые оси. Установим связь между компонентами тензора в старой и новой системах координат. Обозначим компоненты векторов в новом базисе через , т.е. . Компоненты векторов в новом базисе выразим через старые по формулам преобразования вектора: (67) Тогда первое равенство (64) в новых координатах запишется так: (68) Аналогично, две другие формулы (64) в новых координатах будут выглядеть так: (69) Или объединяя все три формулы: (70) По формуле (70) преобразуются компоненты тензора при переходе от старой системы координат к новой. Выведем обратную формулу. Умножим обе части (70) на , воспользуемся ортогональностью матрицы перехода и свойством символа Кронекера: (71) Умножим теперь обе части на : или (72) Формулы (70) и (72) определяют закон преобразования тензора второго ранга. Они положены в основу второго определения тензора. В любой прямоугольной системе координат тензор 2-го ранга определяется девятью компонентами, которые при преобразовании системы координат преобразуются по формулам (70) и (72).
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (715)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |