Преобразование координат точки и вектора
Рассмотрим какую-либо точку пространства с координатами в старой системе: . Разложим радиус-вектор этой точки по старому базису: (24) Перейдем в новую систему координат. Точка и ее радиус-вектор будут иметь уже новые координаты , и разложение по новому базису будет выглядеть так: (25) Подставим в формулу (24) формулы (20), выражающие старые базисные векторы через новые: Пользуясь правилом Эйнштейна, запишем это короче: (26) Сравнивая (26) с (25) и принимая во внимание, что разложение по базису единственно, получим, что координаты точки в новой системе координат равны: , , . Эти формулы можно объединить в одну и тогда получим: (27) По этому правилу преобразуются координаты точки и радиус-вектора при переходе от старой системы координат к новой. Выведем теперь формулы обратного преобразования. Подставим в формулу (25) формулу (22а). При этом сразу будем пользоваться правилом суммирования: (28) Сравним (28) с (24). При этом, поскольку в (24) индекс является немым, заменим его буквой , а в (28) немой индекс заменим буквой . Получаем: (29) По этой формуле преобразуются координаты точки и радиус-вектора при переходе от новой системы координат к старой. По формулам (27) и (29) преобразуются координаты радиус-вектора. Поскольку все векторы мы считаем свободными, то по этим же формулам преобразуются координаты (компоненты) любого вектора. Укажем правило для запоминания суммирования в формулах преобразования (27) и (29). Первая формула (27) выражает новые координаты через старые, суммирование производится по старым координатам, а это второй индекс у элементов матрицы . Следовательно, суммирование производится по второму индексу. Вторая формула (29) выражает старые координаты через новые. Суммирование производится по новым координатам, а это соответствует первому индексу у элементов . Следовательно, суммирование идет по первому индексу. Символ Кронекера. Перепишем формулы (27) и (29): , (30) и подставим вторую в первую: (31) Распишем это подробно. Здесь двойное суммирование: по индексу и по индексу : Отсюда: Следовательно: (32) Первые три формулы можно сокращенно записать так: . Следующие три формулы перепишем: Объединяя эти две группы формул, можно записать: (33) Введем так называемый символ Кронекера: (34) С его помощью формулу (33) запишем в виде: (35) Вернемся к формулам (30) и подставим теперь первую во вторую: Если это выражение расписать подробно, как (32), то в итоге получим: (36) Формулы (35) и (36) есть не что иное, как выражение свойств б) и в) ортогональной матрицы преобразования системы координат, сформулированные в §3. Переставим местами в формуле (35) индексы и : , (37) или (38) т.е. символ Кронекера симметричен. Символ Кронекера обладает замечательным, так называемым фильтрующимсвойством, на котором и основано широкое применение этого символа. Рассмотрим выражение: . Если , то правая часть будет равна , если , то , если , то , т.е.: . (39) Это соотношение означает, что из всех компонент вектора символ Кронекера «отфильтровывает» одну, а именно .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (639)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |