Решение волнового уравнения в случае неоднородной среды

(Ф19.1)

Рассматриваем нормальные волны, т.е. источников нет.

, где

Будем предполагать . Здесь , если .

Запишем ещё одно уравнение для среды сравнения, которая имеет однородные диэлектрические свойства, и геометрически идентичная нашей неоднородной рассматриваемой среде.

(Ф19.2)

, где

Это уравнение решать проще чем, чем исходное. Будем обозначать через выражения вида:

Вычитая из (Ф19.1) – (Ф19.2) получим:

Введем обозначение , тогда:

в компонентной форме:

Используем функцию Грина для оператора , тогда:

или

Оператор . Обозначим , тогда:

- интегральный оператор, действующий на поле .

Это уравнение решается методом последовательного приближения:

0-е приближение

1-е приближение

…

(n+1)-е приближение

Полученные результаты представляются в виде ряда Неймана (если этот ряд сходится):

Условие сходимости ряда Неймана -

§ 20. Расчет показателя рассеяния , фазовой и групповой скорости электромагнитных волн в неоднородных средах

При распространении волн в неоднородных средах наибольший интерес представляет среднее поле – когерентная составляющая . Оказывается, что поле удовлетворяет уравнению:

,

где - эффективный интегро-дифференциальный оператор.

Важное значение имеет фурье-образ оператора , т.е. тензор

, где

- определяет свойства когерентной составляющей волны. Когерентная составляющая волны:

Вектор определяется из решения дисперсионного уравнения:

Откуда получаем . Мнимая часть определяет рассеяние электромагнитных волн на неоднородностях среды.

Тогда показатель рассеяния , фазовая скорость и групповая скорость .

§ 21. Асимптотические выражения для показателя рассеяния

Рассмотрим . Если , то и .

- описывает характер убывания взаимодействия между неоднородностями. Для описания вводится параметр :

Это для случая статистически однородной и изотропной среды (т.е. микросреда неоднородная, а макросреда – однородная). Здесь - масштаб корреляции, т.е. расстояние на котором взаимодействие между неоднородностями убывает в е раз.

Удобно ввести безразмерный коэффициент:

имеет различную зависимость от волнового числа в зависимости от диапазона длин волн.

Рассмотрим диапазон длинных волн . Релей получил , где

Здесь , т.е. длинноволновая асимптотика.

Рассмотрим случай коротких волн . Здесь , где вводится ограничение , .

, т.е. (случай коротких волн)

, т.е.

Мы получили выделенный интервал длин волн, для которого:

т.е. длины волн малы по сравнению с и большие по сравнению с .

Рассмотрим ультракоротких волн . Здесь и

Графически все три случая можно изобразить следующим образом:

Ширина -области определяется величиной . С ростом область уменьшается. С дальнейшим ростом может исчезнуть область - область ультракоротких волн.