Энергия взаимодействия двух электрических мульти-полей

 

1.

Рассмотрим случай, когда создаётся точечным зарядом, тогда , и:

-энергия взаимодействия двух точечных зарядов.

Но в силу того, что получаем:

-энергия взаимодействия точечного заряда и диполя

где - единичный вектор в направлении вектора .

Тогда получаем:

величина

величина

здесь значок «~» означает «порядок»

 

2.

Пусть диполь создаёт поле, потенциал которого:

Энергия взаимодействия:

- это имеет порядок такой же как и

-энергия взаимодействия двух диполей.

Тогда имеем формулы:

Т.е. можно ограничиться первым слагаемым при рассмотрении системы зарядов.

Замечание к формуле :

Т.е. это энергия диполя во внешнем поле (взаимодействие).

 

2 § 7. Дисперсионное уравнение. Нормальные электромагнитные волны в неограниченной среде

 

Рассматриваем нормальные волны (т.е. источников нет). Здесь свойства волны, т.е. , определяется свойствами системы, которые заключены в тензоре

Это система однородных уравнений, решение этой системы существует, если

(Ф7.1)

Выражение (Ф7.1) и есть дисперсионное уравнение.

Решая дисперсионное уравнение, находим допустимые значения волнового вектора и его направление.

Если в выражении задать направление , то найдём значение скорости распространения волнового вектора.

где - единичные антисимметричные тензоры.

Если , т.е. , - обратная к матрица, тогда

(Ф7.2)

Выражение (Ф7.2) удобно для случая расчета фурье-образа тензора Грина:

тогда

Переходим к Фурье:

тогда , считается по формуле (Ф7.2)

 

Условие существования нормальных электромагнитных волн – это:

Неограниченная среда – упрощение задачи, т.к. снимаются граничные условия. Здесь на волны влияет только среда распространения волн.

3 § 8. Поперечные и продольные нормальные волны в среде. Решение дисперсионного уравнения в случае однородной и изотропной среды с пространственной дисперсией

 

Поперечность и продольность связываются с векторами распространения волны , где , т.е. среда без ферромагнитных свойств.

В неограниченном пространстве для установления поперечности и продольности достаточно установить связь между векторами .

Пусть есть единичный вектор , сонаправленный волновому вектору . Введём единичный вектор , ортогональный вектору

Тогда разбивается на две составляющие:

- продольная составляющая

- поперечная составляющая

Составляющая вектора вдоль волнового вектора поля :

В компонентах:

- этот тензор выделяет нормальную составляющую поля .

Тангенциальная составляющая поля :

В компонентах:

-этот тензор выделяет тангенциальную (поперечную) составляющую .

- тензорное (матричное) соотношение.

Свойство тензоров :

 

это свойства операторов проектирования. В компонентах:

 

Решение дисперсионного уравнения приводит к поперечным или к продольным волнам. Эти решения получаются при разных условиях:

1. при

2. при

где - детерминант диэлектрических проницаемостей.

 

Мы будем рассматривать среды обладающие центром симметрии, т.е. проводить инверсию относительно точки – это упрощает запись тензора . Тензор может быть разложен на два независимых тензора :

Можно показать, что . Тогда продольные волны могут существовать при . А поперечные волны могут существовать при и .

Если рассчитать для выражение , то получается уравнение Френеля:

Получаем два корня данного уравнения: и , которые мы берём по абсолютному значению, т.е. в кристалле распространяются две поперечные волны.

В случае решение уравнения может быть упрощено:

Тогда для поперечной составляющей:

для продольной ( ):

Тогда из

получаем

(Ф8.1)

Здесь два одинаковых решения, т.к. среда изотропная.

Уравнение (Ф8.1) трансцендентное, оно решается методом последовательных приближений. В нулевом приближении можно взять .