Проверка адекватности полученных коэффициентов

Для сравнения трех вариантов линейной зависимости, полученных разными методами, вычисляют сумму квадратов отклонений экспериментальных данных y_i от рассчитанных по найденным формулам значений у_pi в тех же точках.

Таблица 6.

Здесь у_1i значения, рассчитанные по формулам метода «натянутой нити» ; y_2i по методу «средней» ; у_3i по методу наименьших квадратов.

В последней строке таблицы представлены суммы квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений, которые позволяют выбрать зависимость, наиболее адекватно описывающую результаты эксперимента. В данном случае это последняя зависимость, полученная методом наименьших квадратов, поскольку указанная сумма для нее минимальна.

Применение программы Excel для поиска коэффициентов

модели

1. На основе экспериментальных данных определить коэффициенты линейной эмпирической зависимости на основе 3-х различных критериев приближения (близости в среднем, метода наименьших квадратов, среднего квадрата относительного отклонения).

2. Проверить адекватность полученных регрессионных зависимостей по минимуму суммы квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений.

3. Выбрать зависимость наилучшим образом описывающую результаты эксперимента.

Процесс поиска может быть проиллюстрирован в виде таблицы, заполняемой в Excel (табл. 7).

В столбцы для x_iи y_i заносят исходные данные. В столбце для F(x_i) рассчитывают значения целевой функции на основе модели, для тех же значений переменной x_i и начальных значений параметров А₁ – А₃. В последнем столбце вычисляют квадрат отклонения расчетных и экспериментальных значений и их сумму. Активировав ячейку для указанной суммы, включают опцию «поиск решения», задают диапазон изменения параметров и определяют их значения, обеспечивающие min для суммы квадратов отклонений.

Т а б л и ц а 7. Исходная таблица для расчета коэффициентов

Расчет эмпирических коэффициентов регрессионной зависимости на основе экспериментальных данных, полученных в результате эксперимента с факторным планированием.

Методика расчета коэффициентов регрессионной многофакторной модели для любого количества управляемых переменных (факторов) хорошо известен [1, 3, 10]. Здесь мы покажем возможность использования для этой цели методов приближения эмпирической зависимости и, в первую очередь, метода наименьших квадратов в сочетании с возможностями программы «Excel». Продемонстрируем данный способ на конкретном примере.

При разработке модели процесса получения нетканого материала на чесально-вязально-прошивных агрегатах [20] были использованы следующие факторы:

X₁ – заправочная плотность прошива (число петель на 5 см);

X₂ – число сложений прочеса;

X₃ – масса броска самовеса, г.

По мнению специалистов эти факторы должны оказывать наибольшее влияние на целый спектр свойств такого нетканого материала. Для вычисления коэффициентов зависимостей были выбраны некоторые из них:

Y₁ – разрывная нагрузка по длине, кгс;

Y₂ – разрывная нагрузка по ширине, кгс;

Y₃ – разрывное удлинение по ширине, %;

Y₄ – поверхностная плотность, г/м².

В эксперименте были выбраны следующие уровни варьирования факторов (табл. 8).

Т а б л и ц а 8. Уровни варьирования факторов

Обобщенный вид полиномиального регрессионного уравнения выглядит следующим образом:

Результаты измерений всех выбранных критериев для различных комбинаций уровней факторов приведены в табл. 9. Здесь же показаны результаты расчетов коэффициентов регрессии. Данные табл. 9 скомпонованы следующим образом: столбцы с кодированными значениями факторов X_i, усредненные результаты измерения первого критерия Y₁, расчитанные значения этого критерия (12), квадрат разности расчетного и экспериментального значений. Коэффициенты для каждого критерия представлены отдельно (табл. 10).

Т а б л и ц а 9. Результаты расчета коэффициентов регрессионной модели

Расчет коэффициентов вели следующим образом: задавали произвольные исходные значения коэффициентов (например, X_i = X_ij = 1), получали расчетное значение критерия Y_iR и вычисляли (Y_i - Y_iR)². Используя опцию «Поиск решения» вычисляли набор коэффициентов, обеспечивающих минимум суммы квадратов Σ(Y_i - Y_iR)². Результаты расчетов для всех критериев представлены в табл. 10.

Т а б л и ц а 10. Расчетные значения коэффициентов моделей

Для сравнения приведем модели, полученные нами и те, которые были получены на основе факторного анализа [1, 10]. Следует лишь сразу отметить, что модели, приведенные в [20], учитывают только наиболее значимые коэффициенты.

Y₁ = 15,02 – 0,73x₁ + 1,9x₂ + 2,565x₃ – 0,675x₁x₂ – 0,65x₁x₃ + 0,75x₂x₃ + +0,855x₁²+ 0,164x₂² + 0,501x₃²;

Y₁ = 15,024 + 1,978x₂ + 2,615x₃ ;

Y₂ = 28,28 – 0,51x₁ - 1,9x₂ + 1,074x₃ – 1,0625x₁x₂ – 1,612x₁x₃ - 5,36x₂x₃ + +2,171x₁²+ 1,32x₂² + 0,204x₃²;

Y₂ = 28,207 – 4,737x₂x₃ + 2,369x₁²;

Y₃ = 55,75 – 6,0x₁ + 0,6x₂ + 0,067x₃+ 1,587x₁x₂+ 1,1625x₁x₃ + 0,387x₂x₃ + +0,00413x₁²- 2,157x₂² - 1,91x₃²;

Y₃ = 55,746 – 5,993x₁- 2,174x₂² - 1,908x₃²;

Y₄ = 278,6 + 0,74x₁ + 35,5x₂ + 51,04x₃ - 3,325x₁x₂ - 2,025x₁x₃ + 8,275x₂x₃ + +2,293x₁²+ 0,574x₂² - 2,49x₃²;

Y₄ = 279,2 + 34,7x₂ + 51,0x₃ + 7,693x₂x₃ .

Как мы видим, значения наиболее весомых коэффициентов близки и отличаются только из-за того, что в расчете по методу наименьших квадратов учтены все комбинации факторов.

Таким образом, мы получили те же регрессионные модели на основе тех же исходных экспериментальных данных. Отличие состоит в том, что при использовании для определения коэффициентов эмпирической зависимости метода наименьших квадратов не обязательно соблюдать все требования эксперимента с факторным планированием, а именно: в эксперименте с факторным планированием [1] исследователь «на основе известной информации о процессе определяет значение основного уровня факторов, интервал варьирования факторов и верхний и нижний уровни факторов». Соблюсти эти требования иногда сложно, особенно, если они касаются характеристик сырьевых компонентов. В методе наименьших квадратов не требуется строгого выполнения этого требования.