К полученным экспериментальным данным

Если у нас отсутствует физическая модель технологического процесса, то приходится на основе эксперимента находить взаимосвязи наиболее важных технологических параметров. Для этого получают таблицу значений функции какого-либо выходного параметра технологического процесса (табл. 5) при изменении аргумента (некоторого переменного входного параметра процесса).

Т а б л и ц а 5.

Если аналитическое выражение зависимости между x и y неизвестно, то возникает задача нахождения эмпирической зависимости y = f(x), которая в некотором смысле приближается наилучшим образом к экспериментальным данным. Эту задачу необходимо решить для построения модели процесса и лишь после этого можно решать задачу о его оптимизации. Геометрически задача состоит в том, чтобы построить кривую, которая была бы близка к системе точек (x_i, y_i). Если вид зависимости известен, то задача сводится к отысканию наилучших значений параметров этой зависимости, в противном случае сначала необходимо определить вид функциональной зависимости. Для этого исследователь, на основе экспериментальных данных, выбирает узкий класс функций, которому принадлежит искомая зависимость, и после этого задача сводится к поиску наилучших численных значений коэффициентов или параметров этой функции.

При определении численных значений параметров функциональной зависимости необходимо руководствоваться каким-либо критерием оценки степени приближения.

Одна из возможных оценок состоит в требовании равномерного приближения расчетной зависимости к результатам наблюдаемым экспериментально [3]. Математически требование равномерного приближения состоит в выполнении условия:

(3)

которое означает, что выбором параметров расчетной зависимости f(x_i, a_{1, …,} a_k) минимизируется максимальное отклонение этой зависимости от экспериментальных значений.

Оценка близости по критерию равномерного приближения не всегда оправдана, поскольку, если среди экспериментальных значений имеются большие ошибки, то они в значительной степени и будут определять характер расчетной зависимости при использовании данного критерия.

Более удобной формой критерия является требование близости в среднем, которое может быть выражено различными способами. Например, в качестве критерия близости или критерия адекватности может быть использовано соотношение

(4)

Минимизация величины , обеспечиваемая выбором параметров позволяет получить расчетную зависимость, для которой среднее отклонение по всем экспериментальным точкам будет минимальным.

Другим выражением критерия близости может быть оценка

(5)

минимизация которой обеспечит наименьшее значение среднеквадратичного отклонения для всех экспериментальных точек.

Этот критерий наиболее часто используется в задачах обработки экспериментальных данных, поскольку данная зависимость является аналитической функцией параметров Указанные соотношения для оценки близости расчетной и экспериментальной зависимостей дают хорошие результаты, если диапазон изменения значений функциональной зависимости имеет относительно небольшие пределы. Метод нахождения коэффициентов зависимости, использующий этот критерий, обычно называют «метод наименьших квадратов».

Если исследуемая функциональная зависимость имеет очень широкий диапазон изменения, более чем на порядок, то такие оценки становятся неудовлетворительными, поскольку относительный вклад каждой экспериментальной точки в общую оценку близости зависит от измеренного значения. Поэтому в качестве оценок близости, при очень широком диапазоне изменения функции, применяются несколько иные соотношения:

(6)

(7)

При использовании указанных выражений обеспечивается минимум среднего относительного отклонения или среднего квадрата относительного отклонения.

Когда искомая функциональная зависимость f(x_i, a_{1, …,} a_k) является линейной функцией параметров, например, при определении коэффициентов аппроксимирующего полинома, наилучшие значения параметров, в особенности при использовании критерия оценки среднеквадратичного отклонения, могут быть найдены путем использования хорошо известного метода наименьших квадратов.