Лекция 25. Основные методы интегрирования
Замена переменной интегрирования При нахождении многих интегралов оказывается эффективной следующая идея: вместо исходной переменной х вводят новую переменную по формуле или (где φ- дифференцируемая функция) таким образом, чтобы относительно новой переменной интеграл был значительно проще, вычисляют этот преобразованный интеграл, а затем возвращаются к старой переменной. Если f(x)- непрерывная функция, F(x)- её первообразная, а φ(х)- дифференцируемая функция, то изложенная идея выглядит так: В частном случае Этот факт можно сформулировать в виде правила: Если в числителе стоит производная знаменателя, то интеграл равен натуральному логарифму модуля знаменателя. Интегрирование по частям Суть метода заключается в использовании формулы Для применения этой формулы подынтегральное выражение следует представить в виде произведения одной функции и на дифференциал другой dv. При переходе от левой части формулы к её правой части мы должны функцию и дифференцировать, а выражение dv- интегрировать. Интегрирование иррациональных функций 1. Если корни в подынтегральном выражении имеют вид: , то оно преобразуется в рациональную дробь с помощью подстановки , где k- наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел n,q,s. 2. Если выражение под знаком интеграла содержит только корни , то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки , где k- наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел n,q,s. 3. Если выражение под знаком интеграла содержит только корни , то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки , где k- наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел n,q,s. 4. Если подынтегральное выражение представляет собой дифференциальный бином, т. е. выражение вида , где т, п, р –рациональные числа, то данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби в следующих трёх случаях: а) При р- целом - подстановка , где k- общий знаменатель дробей т и п. б) При целом – подстановка , где k- знаменатель числа р в) При целом – подстановка , где k- знаменатель числа р. Интегрирование тригонометрических функций 1. Если под знаком интеграла стоит выражение , получающееся из функций и некоторых констант с помощью четырёх арифметических действий, то данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной подстановки , в этом случае . 2. Если = , то целесообразно применить подстановку . 3. Если = - , то интеграл рационализуется с помощью подстановки . Если же =- , то интеграл рационализуется с помощью подстановки . 4. Если , где т и п –четные неотрицательные числа, то применимы формулы: , 5. При вычислении интегралов , пользуются тригонометрическими формулами:
Интегралы вида вычисляются с помощью формул и , позволяющих понизить степень тангенса и котангенса.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (516)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |