Лекция 26. Интегрирование дробно-рациональных функций
Выделение правильной рациональной дроби Неправильную дробь всегда можно свести к правильной, разделив числитель на знаменатель «столбиком» и выделив из дроби целую часть, т.е. многочлен: Поэтому . Интеграл вычисляется элементарно. Рассмотрим интегрирование правильных рациональных дробей. Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими дробями: I. ; II. III. IV. При этом предполагается, что А, В, p,q- действительные числа, а квадратный трехчлен в дробях III и IV типов не имеет действительных корней (т. е. ). Интегрирование простейших рациональных дробей Рассмотри интегралы от простейших дробей: I. II. III. Для вычисления интеграла от рациональной дроби третьего типа поступают следующим образом: выделяют полный квадрат в знаменателе , затем делают подстановку . IV. Для вычисления интеграла от рациональной дроби четвертого типа, сначала, как и для дроби III типа, в числителе дроби выделяется полный квадрат, и делается подстановка , после чего данный интеграл сводится к виду: . Первый интеграл правой части легко сводится к «табличному», а второй – находится с помощью рекуррентной формулы: , где Метод неопределенных коэффициентов Для представления правильной рациональной дроби в виде суммы простейших следует её знаменатель Q(x) разложить на множители (линейные и квадратичные с отрицательными дискриминантами) и воспользоваться следующими правилами: 1. Каждому линейному множителю (х-а) ставить в представлении f(x) слагаемое ; 2. Каждому множителю вида (x-a)k, k=2,3,… ставить в представлении f(x) k слагаемых ; 3. Каждому множителю вида ставить в представлении f(x) слагаемое . Числа А, В, А1, А2,…, Аk-1, Ak являются неопределёнными коэффициентами. Для нахождения неопределённых коэффициентов все простейшие дроби приводят к общему знаменателю Q(x) и приравнивают числители обеих частей равенства. Затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х. Это приводит к системе уравнений, из которой и находят значения интересующих нас коэффициентов.
Лекция 27. Понятие определенного интеграла Определенный интеграл как предел интегральной суммы Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия. 1. С помощью точек разобьем отрезок на n частичных отрезков . 2. В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т. е. величину . 3. Умножим значение функции на длину соответствующего частичного отрезка . 4. Составим сумму всех таких произведений: . Данная сумма называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка. 5. Найдем предел интегральной суммы, когда . Если при этом интегральная сумма имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом, . Числа называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, отрезок - отрезком интегрирования. Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью ОХ, сбоку – прямыми , называется криволинейной трапецией. Найдем ее площадь. На каждом частичном отрезке построим прямоугольник, одна из сторон которого равна , а другая - . Тогда площадь каждого такого прямоугольника равна , а площадь полученной при разбиении ступенчатой фигуры - и приближенно равна площади соответствующей криволинейной трапеции. С уменьшением всех величин точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел, равный . То есть, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. Теорема Коши:если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует. (без доказательства) Укажем некоторые свойства определенного интеграла, вытекающие непосредственно из его определения: 1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: = . 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: . 3. Для любого действительного числа с верно равенство . Основные свойства определенного интеграла. 1. . 2. 3. 4. Если на отрезке функции и интегрируемы и , то . следствие 1:если и - наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке , то . следствие 2:если на отрезке функции и интегрируемы, и , то . «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что . Число называется средним значением функции на отрезке .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (664)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |