Векторами и комплексными числами
Для мгновенных значений токов и напряжений в цепи справедливы законы Кирхгофа:
, (3.13) Сложение мгновенных значений синусоидальных функций времени удобно выполнять с помощью вращающихся векторов. Мгновенное значение любой синусоидальной величины, например тока , в каждый момент времени можно представить проекцией на вертикальную ось OY вектора амплитуды , вращающегося со скоростью w = const в плоскости XOY вокруг начала координат против часовой стрелки. В момент вектор, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде тока , расположен под углом a к оси OX Вектор изображает синусоидальную функцию . Совокупность векторов, изображающих несколько синусоидальных функций, образует векторную диаграмму. Представив на диаграмме векторами, вращающимися с одной скоростью w, несколько синусоидальных токов, можно геометрическим сложением найти их сумму. Так, зная токи и , притекающие к узлу, согласно первому закону Кирхгофа можно найти ток, утекающий от узла (рис. 3.4):
. Используя метод векторных диаграмм,суммарный ток находят, геометрически складывая в одном масштабе токи i1 и i2 (рис. 3.5). При векторном представлении синусоидальных токов и напряжений законы Кирхгофа справедливы для действующих значений:
, . (3.14) Геометрическое сложение векторов можно заменить алгебраическими действиями над комплексными числами, если изобразить синусоидальные функции времени комплексными числами. Комплексное число (рис. 3.6), соответствующее на комплексной плоскости точке с координатами (a, b), можно представить в алгебраической форме: , где a, b – действительные числа; – мнимая единица, обладающая свойством . Комплексное число можно задать вектором, проведенным из начала координат, длина которого называется модулем, а угол , отложенный от оси действительных чисел, – аргументом комплексного числа. Угол α отсчитывают от положительного направления действительной оси против часовой стрелки. Комплексное число можно представить в тригонометрической форме, введя в рассмотрение проекции вектора
, где – действительная часть; – мнимая часть. Применив формулу Эйлера
, комплексное число представляют в показательной форме: . Умножение комплексного числа на оператор поворота изменяет его аргумент на угол и поворачивает изображающий вектор на этот же угол против хода ( ) или по ходу ( ) часовой стрелки. Поскольку , то умножение числа на мнимую единицу ( ) увеличивает аргумент на и поворачивает изображающий вектор против часовой стрелки на угол , а умножение на ( ) уменьшает аргумент на , поворачивая изображающий вектор на угол по часовой стрелке (рис. 3.7). Комплексные числа с равными модулями и равными, но противоположными по знаку аргументами называют сопряженными числами (рис. 3.8):
; . Произведение сопряженных чисел равно квадрату модуля:
. Отложим на комплексной плоскости число, модуль которого равен амплитуде синусоидального тока, а аргумент – его начальной фазе:
, где - комплексная амплитудасмодулем Im и аргументом α. Комплексная амплитуда соответствует току в начальный момент и не зависит от времени (рис. 3.9). Функция изображается вектором длиной Im, вращающимся на комплексной плоскости против часовой стрелки со скоростью w = const. В момент вектор составляет с вещественной осью угол, равный начальной фазе тока α.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (390)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |