Волновые свойства частиц.

Гипотеза де Бройля

Оптические явления интерференции и дифракции света объясняются исходя из волновой природы света. Но при рассмотрении таких явлений, как равновесное тепловое излучение, фотоэффект и ряда других, мы вынуждены рассматривать электромагнитное излучение как поток частиц (квантов). Таким образом, мы приходим к парадоксу – свет одновременно обладает свойствами, характерными как для волн, так и для частиц.

Квантовая механика, созданная для описания свойств квантовых объектов, основывается на предположении Луи де Бройля о том, что так же как свету присущи одновременно свойства частицы (корпускулы) и волны (двойственная корпускулярно-волновая природа света), так и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.

Каждому объекту присущи как корпускулярные характеристики — энергия E и импульс p , так и волновые характеристики — частота ν и длина волны λ .

Соотношения между корпускулярными и волновыми характеристиками частиц такие же, как для фотонов: E=hν и .

Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляется волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

(96)

Гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в опытах Дэвисона и Джермера по дифракции электронов на монокристаллах металлов — естественных дифракционных решетках — и на металлических пленках.

Принцип неопределенности

Двойственная корпускулярно-волновая природа микрочастиц определяет еще одно необычное, с точки зрения классических представлений, свойств микрообъектов — невозможно одновременно точно определить координату и импульс частицы. В общем случае это свойство микрообъектов называется соотношением неопределенностей Гейзенберга:

микрочастица не может иметь одновременно определенную координату (x,y,z) и определенную соответствующую проекцию импульса (p_x, p_y, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют соотношениям

(97)

т.е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Соотношение неопределенностей — квантовое ограничение применимости классической механики к микрообъектам. Для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и соответствующие им проекции импульса имели бы одновременно точные значения.

Для неопределенности энергии ΔE некоторого состояния системы и промежутка времени Δt , в течение которого это состояние существует, также

выполняется соотношение неопределенностей:

ΔEΔt ≥h. (98)

Волновая функция.

В квантовой механике с микрочастицей сопоставляется волновой процесс, который соответствует её движению. Интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства связана с числом частиц, попавших в эту точку, о чем свидетельствуют опыты по дифракции микрочастиц. Поэтому волновые свойства микрочастиц требуют статистического (вероятностного) подхода к их описанию. Для описания поведения квантовых систем вводится волновая функция, которая зависит от координат и времени ψ(x,y,z,t). Конкретный вид ψ-функции (пси-функции) определяется состоянием частицы, характером действующих на неё сил. Функция определяется таким образом, чтобы вероятность dW того, что частица находится в элементе объема dV была равна:

. (99)

Отсюда следует физический смысл волновой функции :

(100)

Квадрат волновой функции имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объёме в окрестностях точки с координатами x,y,z.

Интегрируя по объёму, можно определить вероятность нахождения частицы в этом объёме в условиях стационарного поля.

(101)

- условие нормировки ψ-функции.

Уравнение Шредингера

Точный вид волновой функции можно найти, решая уравнение, называемое уравнением Шредингера. Уравнение Шрёдингера в квантовой механике, так же как и второй закон Ньютона в классической механике, не выводится, а постулируется. Стационарное уравнение Шредингера имеет вид

, (102)

где , Е- полная энергия частицы, U- потенциальная энергия.

Уравнение Шрёдингера связывает ψ-функцию с массой микрочастицы m, её полной энергией E и потенциальной энергией U. И зная конкретный вид потенциальной энергии уравнение можно решать. Однако количество задач, допускающих точное решение, очень ограничено.

В уравнение Шрёдингера входит в качестве параметра полная энергия частицы Е. Из теории дифференциальных уравнений следует, что уравнение Шрёдингера имеет решение не при любых значениях энергии, а лишь при некоторых, называемых собственными значениями. Решения, соответствующие собственным значениям энергии Е, называют собственными функциями задачи.