Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Наиболее простым примером на нахождение собственных значений энергии и соответствующим им собственных значений функции является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

Частица может двигаться только вдоль оси Х в пределах ширины ямы 0<х<l. Внутри ямы пси-функция отлична от нуля, а на границах ямы ψ(0)= ψ(l)=0. Внутри ямы силового поля нет ( U=0).

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний в пределах ямы имеет вид:

(103)

Рис. 28.

Собственные значения энергии определяются формулой:

(n=1,2,3…) (104)

Таким образом, энергия частицы принимает лишь определённые дискретные значения, т. е. квантуется.

Собственные волновые функции имеют вид:

(n=1,2,3…) (105)

На рис. 29 изображены графики собственных функций (а) и плотность вероятности (б) обнаружения частицы на разных энергетических уровнях в зависимости от расстояния от стенок ямы.

Рис. 29

Атом водорода. Квантовые числа.

Для атома водорода потенциальная энергия имеет вид

И решение уравнения Шредингера предсказывает точно такие же уровни, что и теория Бора:

(106)

n – носит название главного квантового числа, и оно характеризует энергию системы. Но кроме n, при решении появляются еще два квантовых числа. Орбитальное квантовое число l связано с моментом импульса электрона. Оно может принимать значения от 0 до n-1. В основном состоянии с n=1, n=0 при n=3, 1=0,1,2. Величина момента импульса L связана с числом l соотношением

(107)

Магнитное квантовое m число характеризует проекцию момента импульса

(108)

и может принимать значения от –1 до +1. Например, l=2, m=-2,-1,0,1,2. Название магнитного квантового числа заимствовано из опыта: было обнаружено, что при газовом разряде спектральные линии расщепляются в магнитном поле на несколько линий, расположенных близко друг к другу (эффект Зеемана).

Есть еще спиновое квантовое число m_S, которое принимает лишь два значения и - . Существование этого квантового числа не следует из уравнения Шредингера. Указание о необходимости введения m_S впервые было получено из опыта. Тщательное исследование спектральных линий атома водорода показало, что каждая линия в действительности состоит из двух (или большего числа) линий. Это явление получило название тонкой структуры.

Принцип Паули

Два электрона могут находиться в атоме в одном и том же квантовом состоянии. Иначе говоря, 2 электрона не могут иметь одинакового набора квантовых чисел n, e, m, m_S. Принцип запрета Паули составляет основу понимания не только структуры сложных атомов, но и природы молекул и химической связи и других явлений. Принцип применим ко всем частицам с полуцелым спином ( , ), то есть к электронам, протонам, нейтронам и т.д., но не к фотонам.