Теоретическое обоснование.

Вблизи опоры балки при нагружении распределенной нагрузкой q возникают и момент М и поперечная сила Q. (рис. 1)

Эти усилия вызывают главные растягивающие и сжимающие напряжения, действующие под углом к продольной оси балки (рис. 2).

Растягивающие напряжения s_z вызывают трещины в балке, идущие от нижней балки к верхней (рис. 3). В верхней зоне на высоту х бетон сжат из-за напряжений, вызванных моментом.

Считают, что до возникновения трещин момент М и поперечная сила Q в наклонном сечении воспринимается в основном бетоном сжатой зоны и бетоном растянутой зоны, а напряжения в продольной и поперечной арматуре незначительны (рис. 4).

Причем в бетоне сжатой зоны напряжения нормальные и касательные. Нормальные вызывают усилие N. Касательные- перерезывающие – усилие Q_b. А вдоль наклонного сечения возникают растягивающие напряжения s_bt. Все эти внутренние усилия в сечении должны уравновешивать внешний момент М и поперечную силу Q. Нарисованная часть сечения должна находиться в равновесии. Уравнение равновесия можно написать, но использовать их в расчетах слишком сложно из-за трудности определения напряжений в бетоне и определения высоты сжатой зоны.

Сечение без арматуры сразу же разрушится при образовании трещин, поскольку бетон сжатой зоны над трещиной не может один воспринимать внешние усилия. Поэтому неармированные поперечной арматурой сечения проверяют по двум формулам:

 

(1)

(2)

где Q – поперечная сила в вершине наклонной трещины

(3)

- для тяжелого бетона

- коэффициент учитывающий влияние преднапряжения или внешних продольных сил N.

при сжатии (4)

при растяжении

- при отсутствии продольных усилий или преднапряженний.

С – расстояние от опоры до вершины трещины.

- максимальное значение С.

Для качественной проверки условия (2) не просто принимают , а уточняют его по следующим формулам.

Если балка находится под действием равнораспределенной нагрузки q (постоянная q и временная v равномерно распределены), то принимают:

(5)

Если временная нагрузка v – приведенная (из нескольких вариантов загружения по огибающей эпюре моментов), то принимают:

(6).

Если для принятой нагрузки q₁ выполняется условие:

, то (7)

принимаем .

Если условие (7) не выполняется принимают:

, (8)

Если в сечении находится арматура (рис. 5), то после образования наклонных трещин (когда бетон вдоль трещины не работает) уравнения равновесия для сечения еще более усложняются и расчет ведут так же по эмпирическим формулам.

Не стоит обращать внимание на обилие коэффициентов в формулах, они учитывают что сечение наклонное, и что все усилия (M, Q, N) действуют одновременно.

Во всех формулах стоит расчетное сопротивление R_bt, но это не значит, что учитывается работа на растяжение, просто через эту величину выражено сопротивление скалыванию R_b,sh. Применяемые формулы получены из многочисленных опытов по разрушению балки от поперечных сил.

Использовалось различные варианты армирования. В общем случае, считается, что прочность армированного сечения обеспечена, если выполняется условие (рис. 5):

, (9)

где: - поперечная сила воспринимаемая бетоном,

- поперечная сила воспринимаемая поперечной арматурой,

- поперечная сила воспринимаемая хомутами.

Каждая из составляющих определяется по эмпирическим формулам:

, где (10)

М_b – «момент» воспринимаемый бетоном (величина имеет размерность момента):

, (11)

Минимальное значение принимается не менее:

, (12)

Коэффициент учитывает наличие полок в тавровых сечениях

. (13)

Ширина полки должна быть не более (см. раздел тавровые сечения).

; ; -по формуле (4)

Поперечная сила в поперечных хомутах:

; (14)

(15)

- погонное усилие в поперечных стержнях (на единицу длины элемента);

С₀ – проекция трещины;

S – шаг поперечных стержней;

- площадь сечения хомутов в 1 плоскости (при 1 каркасе - 1 стержня, при 2^х - 2× , при n каркасах n× ).

å - суммарное значение всех сил попавших в проекцию.

, (16)

Q – угол наклона хомутов к продольной оси балки.

Условие (9) с учетом (10) и (14) примет вид:

(17).

Алгоритм расчета.

1. Считая, что в сечении полностью отсутствует арматура проверяют условия:

(1.1), где

под « » подразумевается одновременное соблюдение двух условий, т.е. Q не должна превышать меньшую из двух правых частей неравенства (1.1).

В условии (1.1) с принимают не более c_max =2,5´h₀ , при этом с – уточняют.

При равномерно распределенной нагрузке и соблюдении условия , - принимают с=с_max, если условие не выполняется, то уточняют с.

 

- само собой разумеется, что теперь .

Если условие (1.1) выполняется, то арматура устанавливается конструктивно, т.е. диаметр арматуры принять из условия свариваемости с с продольной арматурой, шаг принимают максимально допустимым для данной высоты сечения h₀.

2. При несоблюдении условия (1.1) – требуется установка рабочей (принимаемой по расчету) поперечной арматуры. Задаемся площадью стержней A_sw с расчетным сопротивлением R_sw и шагом S.

3. Определяем усилие, воспринимаемое бетоном. Оно должно быть не менее Q_{b min}.

, в этой формуле .

4. Определяется усилие: .

5. Для обеспечения прочности по наклонному сечению между соседними хомутами (поперечными стержнями)

6. Проверяют шаг хомутов, принятых ранее конструктивно S.

;

7. Вычисляется условный момент, воспринимаемый бетоном:

8. Уточняется величина с.

, при этом

9. Поперечная сила, воспринимаемая бетоном сжатой зоны в вершине наклонного сечения:

10. Вычисляется длинна проекции наклонного сечения на ось балки:

; , а так же Если то .

11. Вычисляют поперечную силу, воспринимаемую арматурой:

12. Проверяют прочность сечения в целом:

В случае невыполнения условия увеличивают диаметр арматуры или уменьшаю ее шаг.

13. Проверяется условие прочности по наклонной сжатой зоне:

Если данное условие не выполняется, то увеличивают класс бетона или меняют площадь поперечного сечения.