Обработка экспериментальных данных, подчиняющихся нормальному закону распределения вероятности

Если итоги проверки большого массива экспериментальных данных по критерию c² не противоречат гипотезе о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, то можно считать, что среднее арифметическое значение результата измерения также подчиняется нормальному закону, а среднее значение среднего арифметического

Ни одно из случайных значений, подчиняющихся нормальному закону распределения вероятности, не может отличаться от среднего значения больше, чем на половину доверительного интервала. На основании формулы

можно написать

Заменяя среднее квадратическое отклонение среднего арифметического его оценкой

вытекающей из выражения (2), и принимая во внимание, что , получим:

где – половина доверительного интервала, a t при выбранной доверительной вероятности определяется по верхней кривой на рисунке 5.

Порядок соответствующих действий показан на рисунке 2. Сначала находится стандартное отклонении среднего арифметического, затем выбирается доверительная вероятность и определяется соответствующее ей значение t по верхней кривой на рис. 5. С выбранной доверительной вероятностью значение измеряемой величины Q не отличается от среднего арифметического значения результата измерения больше, чем на половину доверительного интервала .

При небольшом объеме экспериментальных данных среднее арифметическое значение результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, само подчиняется закону распределения вероятности Стьюдента (псевдоним B.C. Госсета) с тем же средним значением =Q. Графики плотности распределения вероятности, соответствующие этому закону, показаны на рис. 7. При увеличении n распределение вероятности Стьюдента быстро приближается к нормальному, становясь почти неотличимым от него уже при n>40...50.

Доверительная вероятность того, что любое случайное значение среднего арифметического, подчиняющегося закону распределения вероятности Стьюдента, не отличается от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала

где S_n(t) – интегральная функция распределения вероятности Стьюдента. По этой формуле на рис. 8 построены графики, показывающие, какое значение имеет объем выборки n. При n=4, например, вероятность того, что никакое значение среднего арифметического, подчиняющегося закону распределения вероятности Стьюдента, не отличается от среднего значения больше чем на , составляет 0,86; при n=6 она равна 0,9: при n=10 получается равной 0,924; при n=20 уже 0,94 и т.д. Верхняя кривая на рис. 8 соответствует условию n>40...50 и практически не отличается от верхней кривой на рисунке 5.

Рисунок 7 – Графики плотности распределения вероятности среднего
арифметического при различных значениях n

По аналогии с предыдущим нетрудно показать, что

где по-прежнему – половина доверительного интервала, a t при выбранной доверительной вероятности определяется по графику на
рис. 8.

Порядок действий при обработке небольшого объема экспериментальных данных отличается только тем, что после выбора доверительной вероятности t с учетом n определяется по графику на другом рисунке.

Рисунок 8 – Вероятность попадания среднего арифметического в
окрестность среднего значения

При совсем незначительном количестве экспериментальных данных (n<10...15) и принятой гипотезе о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности, выявление ошибок по «правилу трех сигм» не производится. Остальной порядок действий (см. рис. 2) не отличается от предыдущего. Доверительный интервал при фиксированной доверительной вероятности, как это видно из графика на рис. 8, с уменьшением объема экспериментальных данных расширяется; точность измерения при этом, следовательно, снижается, приближаясь к точности однократного измерения при n®1.