Обеспечение требуемой точности измерений

Многократное измерение одной и той же величины постоянного размера позволяет обеспечить требуемую точность. Поскольку ширина доверительного интервала зависит от количества экспериментальных данных, то, увеличивая n, можно добиться выполнения наперед заданного условия

Упрощенный алгоритм обработки экспериментальных данных в этом случае показан на рисунке 9.

Пример 4. В таблице 5 приведены 10 независимых числовых значений результата измерения линейного размера (в сантиметрах).

Таблица 5 – Значения результата измерения линейного размера

i	li
		-1
		-3
		-3
		-3

 

Определить его длину, если с вероятностью 0,95 точность измерения должна быть не ниже 2e₀=2 см.

Решение

1. Используя вспомогательные вычисления, сведенные в таблице 5, получим

2. Больше чем на 3 S_l=7,5 от среднего арифметического не отличается ни одно из числовых значений результата измерения. Таким образом, следует признать, что ошибок нет.

3. Допустим, есть основание полагать, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

4. Стандартное отклонение среднего арифметического

5. При n=10 и Р=0,95 по графику на рисунке 8 находим t=2,3.

6. Так как то необходимо увеличить количество экспериментальных данных.

7. Пусть l₁₁=390. Тогда

8. Для проверки нормальности закона распределения вероятности результата измерения используем составной критерий. При n=11 и любой вероятности в таблице 4

и ни одно из числовых значений l_i не отличается от 391,8 больше чем на 2,5S_l=6,2. Таким образом, результаты проверки не противоречат гипотезе о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

9. Стандартное отклонение среднего арифметического при n=11

 

 

 

Рисунок 9 – Обеспечение требуемой точности при
многократном измерении

10.При n=11 и Р=0,95t=2.2. Так как

то необходимо еще больше увеличить количество экспериментальных данных.

11. Результаты последующих действий приведены в таблице 6.

Таблица 6 – Результаты расчетов

n	ln		Sl		t	e
		391,8	2,37	0,68	2,2	1,5
		391,8	2,29	0,63	2,2	1,4
			2,35	0,63	2,15	1,35
		391,9	2,28	0,59	2,15	1,27
			2,22	0,56	2,15	1,2
		391,9	2,23	0,54	2,1	1,13
			2,16	0,51	2,1	1,07
			2,15	0,49	2,1	1,04
			2,14	0,48	2,1	1,01
			2,13	0,47	2,1	0,98

 

Таким образом, потребовалось получить 21 числовое значение результата измерения для того, чтобы с вероятностью 0,95 установить, что 391 см <l< 393 см. Трудоемкость подобной работы требует автоматизации измерений и обработки экспериментальных данных.

На практике беспредельно повышать таким способом точность измерения не удается, так как рано или поздно определяющим становится не рассеяние отсчета и, следовательно, показания средства измерений, а недостаток информации (выражающийся, например, в незнании точного значения – поправок и т.п.). Накапливать экспериментальные данные и уменьшать за счет этого стандартное отклонение среднего арифметического значения показания имеет смысл лишь до тех пор, пока по критерию (5) им нельзя пренебречь по сравнению с аналогом среднего квадратического отклонения, учитывающим дефицит информации (рисунок 10). Точность многократного измерения, следовательно, ограничивается дефицитом информации.

(5)

 

 

 

 

Рисунок 10 – Обработка экспериментальных данных при
дефиците информации

Варианты заданий и форма отчетности

Задача 1. При многократном измерении одной и той же физической величины постоянного размера с равноточными значениями отсчета получили 50 независимых значений результата измерений (поправки внесены). Определить результат измерения.

Таблица 7 – Исходные данные

Предпоследняя цифра шифра	Последняя цифра шифра
	1.25	1.23	1.23	1.24	1.23	1.23	1.24	1.24	1.24	1.21
	1.23	1.25	1.22	1.24	1.23	1.25	1.22	1.22	1.21	1.22
	1.23	1.22	1.22	1.26	1.23	1.24	1.24	1.21	1.20	1.21
	1.22	1.25	1.26	1.26	1.23	1.23	1.23	1.23	1.21	1.20
	1.23	1.24	1.25	1.22	1.24	1.23	1.25	1.25	1.24	1.23
	1.26	1.26	1.25	1.23	1.24	1.25	1.26	1.20	1.25	1.25
	1.25	1.24	1.26	1.22	1.23	1.24	1.24	1.21	1.25	1.25
	1.24	1.25	1.27	1.23	1.22	1.24	1.22	1.23	1.24	1.24
	1.24	1.26	1.24	1.24	1.21	1.25	1.24	1.22	1.22	1.23
	1.23	1.20	1.23	1.22	1.21	1.23	1.26	1.23	1.23	1.23

Указания к решению задачи.

Массив экспериментальных данных формируется из пяти серий (таблица 7) по десять значений результатов измерений в каждой серии (с первого и по десятое, т.е. нулевое) следующим образом: студент выбирает первую серию в строке, соответствующей предпоследней цифре шифра, вторую, третью и четвертую серии в трех ниже (или выше) следующих строках, пятую – в столбце, соответствующем последней цифре шифра. Например, цифре 50435 соответствуют серии: первая – в строке 3; вторая, третья, четвертая – строках 4,5,6, а пятая – в столбце 5.

Первый замкнутый цикл алгоритма служит для обнаружения и исключения грубых ошибок по правилу «трех сигм».

Если число полученных значений больше 40, то дальнейшая обработка должна выполняться по левой ветви алгоритма.

Проверка соответствия экспериментальных данных нормальному закону распределения вероятности результата измерения производится по критерию К. Пирсона.

Наглядность отображения гистограммой закона распределения вероятности результата измерения зависит от соблюдения следующих правил при построении гистограммы:

– интервалы, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать одинаковыми;

– число интервалов разбиения выбирается в пределах 7…9;

– масштаб гистограммы назначается так, чтобы ее высота относилась к основанию примерно, как 5 к 8.

Дальнейшая обработка данных проводится в зависимости от результатов проверки нормальности закона распределения вероятности, согласно алгоритму, приведенному на рисунке 2.

Задача 2. В таблице 7 приведены 100 независимых числовых значений результата измерения напряжения постоянного тока (в вольтах).

Определить напряжение, если с вероятностью Р точность измерений должна быть не ниже 2ε_о. Значения Р и 2ε_о приведены в таблице 8.

Таблица 8 – Исходные данные

Данные	Предпоследняя цифра шифра
Р	0.9	0.95	0.97
2εо, В	0.02	0.04

 

Свои исходные данные из таблицы 7 студент находит, начиная с цифры, расположенной на пересечении столбца, соответствующего последней цифре шифра, и строки, соответствующей предпоследней цифре шифра, после чего использует все последующие цифры столбца с переходом на последующий столбец.

Считать, что результат измерений напряжения подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

Указания к решению задачи.

Для обеспечения требуемой точности при многократном измерении следует применить алгоритм расчета, приведенный на рисунке 9.

Взяв первые 10 числовых значений результата измерений, рассчитать оценку среднего значения и стандартного отклонения показаний, что позволит проверить ряд на наличие ошибок.

Расчет половины доверительного интервала ε позволит сравнить ее с ε_о, что даст возможность сделать вывод о необходимости увеличения экспериментальных данных, после чего следует повторить расчеты, используя методику, рассмотренную в примере 4.

Наращивание количества экспериментальных данных следует продолжать до обеспечения требуемой точности.

 

3 Контрольные вопросы

1. Как выполняется многократное измерение с равноточными значениями отсчета?

2. От чего зависит точность результата многократного измерения?

3. Какая задача называется задачей синтеза оптимальной оценки среднего значения и на чем основан метод ее решения?

4. Каким трем требованиям должны удовлетворять точечные оценки числовых характеристик?

5. Какие критерии согласия,по которым проверяются гипотезы о соответствии экспериментальных данных тому или иному закону распределения вероятности результата измерения вы знаете?

6. Каким образом производится проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения?

7. Какие ошибки возможны при использовании критерия К. Пирсона?

8. Каким образом производится обработка экспериментальных данных, подчиняющихся нормальному закону распределения вероятности?

9. Каким образом производится обработка экспериментальных данных, не подчиняющихся нормальному закону распределения вероятности?

10. Что вы понимаете под термином «робастные оценки»?

11. Какие робастные оценки вы знаете?

12. Каким образом производится обработка экспериментальных данных при дефиците информации?

 

Литература

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения [Текст]: Учеб. пособие для втузов./ Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. – 2-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2005. – 383 с.: ил. – (Высшая математика для втузов). – ISBN 5-06-003831-9.

2. Сергеев А.Г., Латышев М.В., Терегеря В.В. Метрология, стандартизация, сертификация [Текст]: Учебное пособие. – М.: Логос, 2001. - 536 с: ил. ISBN 5-94010-053-8

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения [Текст]: Учеб. пособие для втузов./ Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. – 2-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2005. – 800 с.: ил. – (Высшая математика для втузов). – ISBN 5-06-003830-0.

 

 

 

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

 

по дисциплине

«МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ, СЕРТИФИКАЦИЯ»

 

Методические указания по выполнению контрольной

работы для студентов специальности

230201 (071900) – «Информационные системы и технологии»

 

Составители: ст. преподаватель каф. ЭА Д.А. Шаров

к.т.н, доцент каф. ИСТ А.А. Евдокимов

Рецензент: к.т.н., зав. кафедрой ИСТ Д.В. Болдырев

 

 

Редактор

Подписано в печать . . г. Формат 60´84/16

Уч.-изд. л. Б. Усл. Печ. л. Тираж 50 экз.

ГОУ ВПО «Северо-Кавказский государственный технический университет»

Невинномысский технологический институт (филиал)

Невинномысск, ул. Гагарина, 1