Пример выполнения задания С1

Решение

Выполняем действия в соответствии с порядком решения задач статики. Активные силы F₁и F₂, а также момент пары сил М на рисунке уже показаны, действие распределенной нагрузки на участке СLзаменяем равнодействующей силой, величина которой равна Q = q · = 15·3а = 45кН, прикладывается сила Q в точке, делящей отрезок СL пополам. Объектом равновесия является балкаАСЕВ, ось которой представляет собой ломаную линию.

На балку связи наложены в точках А и В, причем в точке А связью является шарнирно-неподвижная опора(цилиндрический шарнир или подшипник), в точке В – стержень, шарнирно закрепленный по обоим концам. Реакция шарнирно неподвижной опоры в точке А по направлению неизвестна, поэтому при решении задач на рисунке показываются две взаимно перпендикулярные составляющие реакции Х_А и У_А, реакция R_В стержня, шарнирно закрепленного по обоим концам, направлена вдоль стержня. Покажем на рисунке реакции связей и выберем оси координат с началом в точке А.

В результате получилось, что на изучаемый объект действует произвольная плоская система сил, для равновесия которой должны выполняться три условия равновесия.

Условия равновесия для балки запишем в виде уравнений проекций сил на оси координат Ах и Ау и уравнения моментов сил относительно точки А (выбор точки А для вычисления моментов удобен, так как моменты двух неизвестных по величине сил Х_А и У_А относительно точки А равны нулю и поэтому в такое уравнение моментов сил войдет лишь одна неизвестная сила R_В).

∑F_ix= 0;

∑F_iy= 0;

∑М_А = 0.

Для вычисления моментов сил F₁ и R_В воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим эти силы на составляющие ( и ), параллельные осям координат, и будем вычислять сумму моментов составляющих сил F_1x, F_1у, R_Bx, R_Bуотносительно точки А.

Проекции сил на оси координат равны

F_1x = F₁cos60^о = 40·0,5 = 20 кН,

F_1y = F₁sin60^о = 40·0,866 = 34,64 кН;

R_Bx = R_B sin30^о

R_By = R_B cos30^о.

Уравненияравновесияимеютвид:

∑F_ix= 0 X_А + F₁cos60^о – F₂ + R_Bsin30^о = 0; (1)

∑F_iy= 0 Y_A –F₁ sin60^о – Q + R_Bcos30^о = 0; (2)

∑M_Ai = 0 – Q· (^СL/₂ +AC cos60^о) + F_1x·AC sin60^о– F_1y· (CL+AC cos60^о)

– М –F₂· (АСsin60^о+ЕКsin30^о) + R_Bx· (АСsin60^о+ВЕsin30^о)+

R_By· (ЕВcos30^о+CЕ +ACcos60^о) = 0. (3)

После подстановки числовых значений из уравнения (3) можно найти буквенное выражение для определения реакции R_В:

.

При подстановке числовых значений получим

= 40,59 кН.

Тогда из уравнения (1) найдем реакцию Х_А:

X_А = = – 40·0,5 +50 – 40,59∙0,5 = 9,705 кН,

а из уравнения (2) − реакцию Y_А

Y_A= = 40·0,866 + 45-40,59∙0,866 = 44,49 кН.

Примечание

Если ответ получается со знаком минус, то это говорит о том, что реакция в действительности направлена в противоположную сторону.

Задание С2

Две однородные прямоугольные пластины, приваренные под прямым углом друг к другу, образуют угольник. Размеры пластин в направлениях, параллельных координатным осямх, у, z, равны соответственно или , и на рис. С3.0 ÷ С3.4), или , и на рис. С3.5 ÷ С3.9. Силы тяжести большей и меньшей пластин на рис. С3.0 ÷ С3.4 соответственно равны 10 кН и 4 кН, для рис. С3.5÷ С3.9 силы тяжести пластин одинаковы и равны 8 кН. Каждая из пластин расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость хАу горизонтальная).

Из одной из пластин угольника вырезана фигура, расположение и вид которой указаны в таблице С2. Точки, обозначенные на рисунках, находятся по краям или в серединах сторон пластин.

Вычислить координаты центра тяжести угольника с вырезом для указанных на рисунках систем координат. При расчетах принять = 0,5 м. Толщиной пластин пренебречь.

Таблица С2

Вырезаемое тело     № варианта	Треугольник	Полукруг радиуса R = ℓ
прямая aОb полукруга расположена вдоль стороны угольника	точка пластины, из которой начинается построение прямой aObполукруга
		BGD	B
	ALF
	OMN
		ALE	A
	AHE
	GDK
		NO	N
		AFB	A
	KLE
		AFB	B

Указания

Решение задач на определение центра тяжести фигуры состоящей из плоских тел рекомендуется проводить в следующем порядке:

− исследуемую конструкцию разбить на части, для которых положение центра тяжести известно или его можно легко определить, например, на простейшие геометрические фигуры, при этом считать, что вырезанные из конструкции части (фигуры) обладают отрицательной площадью;

− определить площадь каждой части конструкции;

− найти координаты центров тяжести частей конструкции в выбранной системе координат;

− найденные значения подставить в формулы:

, , ,

где S_i− площади отдельных частей конструкции, х_i, у_i, z_i – координаты центра тяжести частей конструкции;

– произвести вычисления.