Математическое дисконтирование

Основы финансовых вычислений

Наращение и дисконтирование денежных сумм. Простые и сложные проценты.

Фактор времени

Концепция временной стоимости денег (принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени), заключается в том, что теоретически любая сумма денег может быть инвестирована и принести доход. Поэтому сегодняшние деньги имеют большую стоимость, чем будущие.

Следствие: недопустимо обычным образом суммировать или сравнивать денежные суммы, относящиеся к разным моментам времени, для этого они обязательно должны быть приведены к одному моменту времени.

Для учета фактора времени в финансовых моделях используют 2 метода:

· наращение или начисление процентов

· дисконтирование.

Основные понятия

Начальная сумма P .

Процентные деньги (проценты) – это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой форме (выдача денежной ссуды, продажа в кредит, помещение денег на сберегательный счет). I

Процентная ставка – отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине начальной суммы. i

Период начисления – интервал времени, к которому относится процентная ставка.

Количество периодов начисления n (срок операции)

Наращенная сумма долга – это начальная сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока. S

Наращение (капитализация) – это процесс увеличения суммы денег в связи с начислением на нее процентов.

Ставка процентов называется простой, если она применяется к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока операции (т.е. база для начисления процентов постоянна).

Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях: а) при заключении краткосрочных контрактов, срок которых не превышает года; б) когда проценты по мере начисления выплачиваются кредитору.

Ставка процентов называется сложной, если она применяется к начальной сумме долга с начисленными в предыдущих периодах процентами (т.е. база для начисления процентов увеличивается за счет капитализации процентов).

Сложные проценты применяются: а) в долгосрочных финансово-кредитных операциях, б) если проценты по мере начисления присоединяются к начальной сумме.

Простые проценты

Формула наращения

Дробный срок

Срок операции в годах (n) вычисляется так:

n = t / K ,

К – число дней в году (временная база);

t – срок операции в днях.

Число дней в году можно считать

· точно 365 или 366 – точные проценты;

· приближенно 360 = 12 • 30 – обыкновенные (коммерческие) проценты.

Срок операции в днях можно считать

· точно – фактическое число дней (спец. таблицы)

· приближенно – число полных месяцев • 30 + число оставшихся дней

Дата начала и дата окончания операции во всех случаях считаются за один день.

В связи с этими различиями существуют три метода расчета процентов:

1. Точные проценты с точным числом дней операции (Британская практика, обозначается 365/365). Этот вариант дает самые точные результаты.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней операции (Французская практика, обозначается 365/360).

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней операции (Германская практика, обозначается 360/360).

Простые переменные ставки

Процентные ставки могут изменяться во времени. В этом случае формула для наращенной суммы имеет вид:

S = P • (1 + n₁i₁ + n₂i₂ + … + n_mi_m) ,

где

i₁, i₂,…, i_m – ставки простых процентов;

n₁, n₂,…, n_m – соответствующие им сроки (количества периодов начисления по соотв. ставке)

Сложные проценты

Формула наращения

Сравнение простых и сложных процентов

…

· при сроке менее года простые проценты более выгодны кредитору, т.к. S_пр > S_сл;

· при сроке в 1 год использование простых и сложных процентов приводит к одинаковым результатам, т.к. S_пр = S_сл;

· при сроке более года сложные проценты более выгодны кредитору, т.к. S_пр < S_сл;

Дробный срок

Методы:

1) по формуле сложных процентов с дробным показателем;

2) комбинированный метод: по формуле

S = P (1 + i) ^[n] (1 + {n} • i)

где [n] – целое число лет, {n} – дробная часть года, n = [n] + {n};

т.е. за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые,

3) по формуле

S = P (1 + i) ^[n]

т.е. за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – не начисляются вообще

Наращение по сложным процентам при изменении ставки во времени

где

i₁, i₂,…, i_m – ставки сложных процентов;

n₁, n₂,…, n_m – соответствующие им сроки (количества периодов начисления по соотв. ставке)

Номинальная ставка

Номинальной называется объявленная годовая ставка сложных процентов, если начисление происходит несколько раз в год.

Введем обозначения:

j – номинальная ставка;

m – число начислений процентов в год;

n – срок операции в годах.

…

Эффективная ставка

Вообще эффективной называют годовую ставку сложных процентов, оценивающую доходность финансовой операции в целом.

В данном разделе эффективной будем называть годовую ставку сложных процентов при начислении 1 раз в год, которая дает тот же финансовый результат, что и m-разовое начисление в год по номинальной ставке j.

Математическое дисконтирование

Дисконтированием называют процесс определения современной стоимости денежной величины по ее известному значению в будущем, т.е. дисконтирование – это процесс, обратный наращению.

Величина Р, найденная дисконтированием, называется современной величиной, или текущей стоимостью, суммы S.

Приведение – это определение стоимости денежной величины на некоторый момент времени. Если сумма приводится к более ранней дате (чем та, к которой она относится), то применяется дисконтирование, если к более поздней, то – наращение.