Меры центральной тенденции

Существует три основных меры центральной тенденции распределения.

ff Среднее значение (mean) равно сумме всех значений распределения, деленной на их количество. Для распределения [3 5 7 5 6 8 9] среднее значение равно (3 + 5 + 7 + 5 + 6 + 8 + 9)/7 = 6,14.

ff Медиана (median) определяется как значение, находящееся в середине рас-пределения, полученного из исходного путем упорядочивания по возрастанию. Для распределения [3 5 7 5 6 8 9] медиана равна 6, поскольку значение, рав-ное 6, находится в центре последовательности [3 5 5 6 7 8 9].

ff Мода (mode) равна наиболее часто встречающемуся значению. В распределе-нии [3 5 7 5 6 8 9] мода равна 5, поскольку число 5 встречается в нем дважды.

Меры изменчивости

Выделяют две величины, характеризующие изменчивость, или разброс, значений распределения относительно среднего.

ff Дисперсия (variance) равна сумме квадратов отклонений каждого значения от среднего, деленной на N – 1, где N — число значений в распределении. Для

118 Глава 7.Описательные статистики

распределения [3 5 7 5 6 8 9] дисперсия равна ((3 – 6,14)2 + (5 – 6,14)2 + (7 – – 6,14)2 + (5 – 6,14)2 + (6 – 6,14)2 + (8 – 6,14)2 + (9 – 6,14)2)/6 = 4,1429.

ff Стандартное отклонение (standard deviation) равно квадратному корню из дис-персии. Для распределения [3 5 7 5 6 8 9] стандартное отклонение равно 2,0354.

Стандартное отклонение является довольно наглядной и информативной для ис-следователя характеристикой распределения, а дисперсия, как правило, использу-ется как вспомогательная величина в статистических вычислениях.

Характеристики диапазона распределения

Дополнительными мерами изменчивости являются 4 простые характеристики, от-ражающие границы распределения и его размах.

ff Минимум (minimum) равен наименьшему из значений распределения. Для рас-пределения [3 5 7 5 6 8 9] минимум равен 3.

ff Максимум (maximum) равен наибольшему из значений распределения. Для распределения [3 5 7 5 6 8 9] максимум равен 9.

ff Размах (range) составляет разность между максимумом и минимумом распре-деления. В случае распределения [3 5 7 5 6 8 9] размах равен 9 – 3 = 6.

ff Сумма (sum) равна сумме всех значений распределения. Для распределения [3 5 7 5 6 8 9] сумма равна 3 + 5 + 7 + 5 + 6 + 8 + 9 = 43.

Характеристики формы распределения

Для отражения близости формы распределения к нормальному виду существуют две основные характеристики.

ff Эксцесс (kurtosis) является мерой «сглаженности» («остро-» или «плосковер-шинности») распределения. Если значение эксцесса близко к 0, это означает, что форма распределения близка к нормальному виду. Положительный экс-цесс указывает на «плосковершинное» распределение, у которого максимум вероятности выражен не столь ярко, как у нормального. Значения эксцесса, превышающие 5,0, говорят о том, что по краям распределения находится боль-ше значений, чем вокруг среднего. Отрицательный эксцесс, напротив, характе-ризует «островершинное» распределение, график которого более вытянут по вертикальной оси, чем график нормального распределения. Считается, что рас-пределение с эксцессом в диапазоне от –1 до +1 примерно соответствует нор-мальному виду. В большинстве случаев вполне допустимо считать нормальным распределение с эксцессом, по модулю не превосходящим 2.

ff Асимметрия (skewness) показывает, в какую сторону относительно среднего сдвинуто большинство значений распределения. Нулевое значение асимме-трии означает симметричность распределения относительно среднего значе-ния, положительная асимметрия указывает на сдвиг распределения в сторону меньших значений, а отрицательная — в сторону больших значений. В боль-

шинстве случаев за нормальное принимается распределение с асимметрией, лежащей в пределах от –1 до +1. В исследованиях, не требующих высокой точности результатов, нормальным считают распределение с асимметрией, по модулю не превосходящей 2.

Стандартная ошибка

Стандартная ошибка (standard error) является характеристикой точности, илистабильности, величины, для которой она вычисляется. В контексте программы SPSS стандартная ошибка используется для среднего значения, асимметрии и экс-цесса. Ее смысл заключается в следующем. Можно взять некоторое количество случайно выбранных значений генеральной совокупности, составить выборку и вычислить для нее среднее значение. Повторив эту операцию несколько раз, вы получите набор средних значений выборок, которые также представляют собой некоторое распределение. Стандартное отклонение этого распределения и будет являться стандартной ошибкой для среднего значения генеральной совокупности. Аналогичным способом вычисляются стандартные ошибки для асимметрии и экс-цесса. Чем меньше значение стандартной ошибки, тем выше стабильность величи-ны, для которой она вычисляется.