Теоретические сведения

Метод анализа иерархий (МАИ) – математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. Этот метод разработан американским ученым Томасом Л Саати в 1970 году, с тех пор он активно развивается и широко используется на практике.

В соответствии с МАИ, для реализации метода необходимо осуществить следующие этапы.

1. Очертить проблему и определить, что необходимо узнать.

2. Построить иерархическую структуру. Иерархическая структура – это представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов.

Вершиной иерархии является Цель; элементы промежуточных уровней соответствуют Критериям, которые связывают цель с Альтернативами. Каждая Альтернатива – это дочерний элемент каждого из включающих ее Критериев.

Пример иерархической структуры, представлен на рис.1.

Рис.1. Пример построения иерархической структуры

3. Определить значимости критериев. Эту операцию под руководством лица, принимающего решение (ЛПР), осуществляет бригада экспертов, использующих методы групповых парных сравнений. Результаты сравнений переводятся в числа по шкале относительной важности Т. Саати (табл.2).

4. Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней – по одной матрице для каждого элемента, примыкающего сверху уровня.

5. Использовать иерархический синтез для получения наилучшего варианта (п.3).

Экспертное оценивание

В общем случае экспертное оценивание можно определить так: задано некоторое множество А={А_k} (k=1,2, …, n), альтернатив, которые нужно сравнить по некоторому множеству критериев, с целью определения относительных коэффициентов значимости w_k/

Парные сравнения приводят к матричной форме - квадратной матрице парных сравнений (табл.3.1).

Таблица 1

Матрица парных сравнений

	А1	А2	…	Аn
А1			…
А2			…
…	…	…	…	…
Аn			…

В силу разнородности критериев оценки экспертами проводятся по шкале относительной важности (табл.2).

По соглашению сравнивается относительная важность левых элементов матрицы относительно диагонали с элементами наверху. Поэтому если элемент слева от диагонали матрицы важнее, чем элемент сверху диагонали, то в клетку заносится положительное число (от 1 до 9) в противном случае – обратное число (дробь).

Например, если элемент А воспринимается как «слегка более важный» (3 по шкале) относительно В , то считаем, что элемент В «слегка менее важен» (1/3 по шкале).

Относительная важность любого элемента сравниваемого с самим собой равна 1, поэтому диагональ матрицы содержит единицы.

Таблица 2

Шкала относительной важности

Синтез приоритетов

Из группы парных сравнений формируется набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент, примыкающего сверху уровня.

Одним из способов определения приоритетов является вычисление геометрического среднего. Это можно сделать, перемножая элементы в каждой строке и извлекая корень n - й степени, где n – число элементов. Последовательность расчета составляющих вектора приоритетов представлена в табл. 3.

Таблица 3.

Расчет вектора приоритетов

Матрица					Среднее геометрическое (вес)	Координаты нормализованного вектора приоритетов
	А1	А2	…	Аn
А1			…
А2			…
…	…	…	…	…	…	…
Аn			…

Здесь .

Пример применения МАИ

Для уборки зерновых культур необходимо приобрести зерноуборочный комбайн. На рынке имеются машины четырех фирм: А, В, C, D одинакового целевого назначения. Какой зернокомбайн выбрать в соответствии с потребностями покупателя?