Приведение произвольной системы сил к простейшему виду

Основная теорема статики.Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке тела (центре приведения), момент пары равен главному моменту системы сил относительно этой точки.

Главный вектор системы сил :

определяется своими проекциями на оси координат:

, , ,

.

Главный момент системы сил относительно центра O:

определяется своими проекциями на оси координат:

, , ,

.

Возможны следующие случаи приведения системы сил к центру:

1. , .

Система сил приводится к равнодействующей. Линия действия равнодействующей проходит через центр приведения.

2. , .

Система сил приводится к паре сил.

3. , , − система сил имеет равнодействующую, которая не проходит через центр приведения. Ее линия действия определяется уравнениями

4. , , − система сил приводится к динамическому винту (силе и паре, лежащей в плоскости, перпендикулярной силе).

Момент пары сил динамического винта

.

Ось динамического винта определяется уравнениями

.

5. , − уравновешенная система сил.

Пример 1.4.1. Привести систему сил (рис. 1.4.1) к простейшему виду, если F₁ = 5 Н, F₂ = 15 Н, F₃ = 10 Н, F₄ = 3 Н, a = 2 м.

Решение:

1. За центр приведения выберем начало координат – точку O (рис. 1.4.2) и укажем углы a и b, определяющие положение силы .

2. Найдем проекции главного вектора на оси координат:

,

,

.

Откуда

Н, Н, Н,

Н.

3. Вычислим проекции главного момента относительно точки О на оси координат:

,

,

,

Откуда

Н·м, Н·м, Н·м,

Н·м.

4. Найдем величину скалярного произведения главного вектора и главного момента

.

Так как , то система сил приводится к правому динамическому винту. Вектор момента пары динамического винта и главный вектор совпадают по направлению.

5. Уравнения оси динамического винта имеет вид:

или с учетом найденных значений:

или

.

Для построения оси динамического винта найдем точки A и B ее пересечения с координатными плоскостями Oxy и Oyz, соответственно

–1,703 м

–0,203 м 1,063 м

1,995 м

6. Определим момент пары сил динамического винта

Н·м.

7. По координатам точек A и B изобразим ось динамического винта (рис. 1.4.3). В произвольной точке этой оси укажем силу, равную главному вектору и вектор момента пары .

Задача 1.4.1. Имеет ли равнодействующую система сил, для которой главный вектор и главный момент относительно центра О .

Ответ: да.

Задача 1.4.2. Имеет ли равнодействующую система сил, для которой главный вектор и главный момент относительно центра О .

Ответ: нет.

Задача 1.4.3. Определить расстояние от центра приведения О долинии действия равнодействующей системы сил (рис. 1.4.4), если ее главный вектор R = 15 Н и главный момент М_О = 30 Н·м.

Ответ: 2 м.

Задача 1.4.4. Определить угол между главным вектором и главным моментом изображенной на рисунке 1.4.5 системы сил, принимая за центр приведения точку O, если F₁ = F₂ = 2 Н, момент пары сил M₁ = 3 Н·м, OА = 1,5 м.

Ответ: α = 0º.

Задача 1.4.5. Определить угол между главным вектором и главным моментом изображенной на рисунке 1.4.6 системы сил, принимая за центр приведения точку О, если F₁ = F₂ = F₃ = 10 Н, a = 3 м.

Ответ: α = 135º.

Задача 1.4.6. Найти главный вектор и главный момент системы сил, изображенной на рисунке 1.4.7, если F₁ = F₂ = F₃ = 7 Н, а ОА = ОВ = ОС = 2 м. За центр приведения принять точку О.

Ответ: R = 0, М_О = 17,146 Н·м.

Рис. 1.4.6	Рис. 1.4.7

Задача 1.4.7. Привести систему сил, приложенных к вершинам параллелепипеда (рис. 1.4.8), к простейшему виду, если F₁ = 16 Н, F₂ = 12 Н, F₃ = 20 Н, a = с = 2,4 м, b=1,8 м.

Ответ: система сил приводится к паре сил с моментом М = 48 Н·м.

Задача 1.4.8. Привести систему сил, приложенных к вершинам куба (рис. 1.4.9), к простейшему виду, если F₁ = 15 Н, F₂ = 40 Н, F₃ = 25 Н,
F₄ = F₅ = 20 Н, a = 1,5 м.

Ответ: система сил приводится к паре сил с моментом М = 63,65 Н·м.

Задача 1.4.9. Привести систему сил, приложенных к правильной четырехугольной пирамиде, как показано на рис. 1.4.10, к простейшему виду, если F₁ = F₂ = F₃ = F₄ = 1 Н, F₅ = 2,83 Н, АВ = AS = 2 м.

Ответ: система сил уравновешена.

Рис. 1.4.8	Рис. 1.4.9
Рис. 1.4.10	Рис. 1.4.11

Задача 1.4.10. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.11), к простейшему виду, если F₁ = F₅ = 10 Н, F₃ = 40 Н, F₄ = 15 Н, F₂ = 9 Н, a = 2,4 м, b = 3,2 м, c = 1 м.

Ответ: система сил приводится к равнодействующей R = 32 Н, линия действия которой параллельна оси Oy и проходит через точку А (0,9; 0; 0).

Задача 1.4.11. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.12), к простейшему виду, если F₁ = F₃ = 3 Н, F₂ = F₆ = 6 Н, F₄ = F₅ = 9 Н, a = 3 м, b = 2 м, c = 1 м.

Ответ: система сил уравновешена.

Задача 1.4.12. Привести систему сил, приложенных к вершинам прямоугольного параллелепипеда (рис. 1.4.13), к простейшему виду, если F₁ = F₄ = F₅ = 50 Н, F₂ = 120 Н, F₃ = 30 Н, a = 4 м, b = 3 м, c = 5 м.

Ответ: система приводится к равнодействующей R = 80 Н, линия действия которой параллельна оси Oy и проходит через точку А (0,0,10).

Задача 1.4.13. Привести систему сил, приложенных к вершинам куба (рис. 1.4.14), к простейшему виду, если a = 1 м, F₁ = 866 Н, F₂ = F₃ = F₄ = F₅ = 500 Н. При решении принять .

Ответ: система приводится к равнодействующей R = 7,07 Н.

Рис. 1.4.12	Рис. 1.4.13
Рис. 1.4.14	Рис. 1.4.15

Задача 1.4.14. Привести систему сил, приложенных к правильной треугольной пирамиде (рис. 1.4.15), к простейшему виду, если F₁ = F₂ = F₃ = F₄ = F₅ = F₆ = 1 Н, АВ = AS = 2 м.

Ответ: система сил приводится к динамическому винту с R = 1,41 Н и М = 1,73 Н·м, ось силового винта проходит через вершину S перпендикулярно основанию пирамиды.

Задача 1.4.15. Вес радиомачты с основанием G = 140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F = 20 кН и равнодействующая сил давления ветра P = 50 кН; обе силы горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 1.4.16). Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты.

Ответ: распределенная система сил реакции грунта приводится к левому динамическому винту с силой равной 150 кН и парой с моментом 60 кН∙м. уравнение центральной винтовой оси имеет вид

.

Центр тяжести

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести частиц данного тела.

,

или

Для определения положения центра тяжести однородных тел используют метод симметрии, метод разбиения на тела простой формы с известным положением центров тяжести, а также метод отрицательных масс (линий, площадей, объемов).

Пример 1.5.1.Определить координаты центра тяжести плоской фермы (рис. 1.5.1), составленной из однородных стержней с одинаковым погонным весом.

Решение:

1. Применим метод разбиения, то есть представим ферму как совокупность семи стержней.

2. Найдем координаты центра тяжести фермы по формулам:

; ,

где , , – длина и координаты центра тяжести стержня с номером .

Длины и координаты центров тяжести стержней:

Тогда ,

Пример 1.5.2. Торцевая стена ангара (рис. 1.5.2) имеет форму полукруга 1 радиуса с прямоугольным дверным проемом 2 высотой и шириной Определить координаты центра тяжести стены.

Решение:

1. Применим методы симметрии и отрицательных площадей, рассматривая полукруг 1 и прямоугольный вырез 2.

2. Найдем координаты центра тяжести стены.

Поскольку ось Оy является осью симметрии, то координата

Координату центра тяжести пластины определим по формуле

где , , , – площади и координаты центров тяжести фигур 1 и 2.

Площади и координаты центров тяжести фигур:

Тогда

Задачи 1.5.1 – 1.5.4.Определить координаты центров тяжести плоских ферм (рис. 1.5.3 – 1.5.6), составленных из однородных стержней с одинаковым погонным весом.

Ответы к задачам 1.5.1 – 1.5.4:

Номер задачи	1.5.1	1.5.2	1.5.3	1.5.4
, м	1,52	3,88	3,0	1,59
, м	0,69	1,96	1,73	0,17

 

Рис. 1.5.3	Рис. 1.5.4
Рис. 1.5.5	Рис. 1.5.6
Рис. 1.5.7	Рис. 1.5.8

Задачи 1.5.5 – 1.5.7. Определить координаты центров тяжести однородных составных линий (рис. 1.5.7 – 1.5.9).

Ответы к задачам 1.5.5 – 1.5.7:

Номер задачи	1.5.5	1.5.6	1.5.7
, см			–4,76
, см		14,16	3,31

Рис. 1.5.9	Рис. 1.5.10
Рис. 1.5.11	Рис. 1.5.12

Задача 1.5.8. Изогнутая под прямым углом однородная проволока подвешена на нити (рис. 1.5.10). Найти соотношение между длинами участков AD и AE, при котором участок AE находится в горизонтальном положении. АВ = 0,3 l₁.

Ответ:

Задача 1.5.9. Определить координаты центра тяжести однородной проволоки (рис. 1.5.11), если a = 3 м, b = 2 м, c = 1,5 м.

Ответ: x_C = 1,69 м, y_C = 1,38 м, z_C = 1,33 м.

Задача 1.5.10. Однородный замкнутый контур, ограничивающий полукруг, подвешен на нити (рис. 1.5.12). Определить угол α между горизонталью и диаметром полуокружности.

Ответ: α = 68,74º.

Задачи 1.5.11 – 1.5.14.Определить координаты центров тяжести однородных плоских фигур (рис. 1.5.13 – 1.5.16).

Ответы к задачам 1.5.11 – 1.5.14:

Номер задачи	1.5.11	1.5.12	1.5.13	1.5.14
		37,07 см	32,38 см	2,31 м
	11,88 см		24,83 см	1,56 м

 

Рис. 1.5.13	Рис. 1.5.14
Рис. 1.5.15	Рис. 1.5.16
Рис. 1.5.17	Рис. 1.5.18

Задача 1.5.15. Подставка для цапфы подшипника представляет собой деталь, состоящую из опоры в виде параллелепипеда и шпонки в форме куба (рис. 1.5.17). Определить координаты центра тяжести подставки. Размеры указаны в миллиметрах.

Ответ:

Задача 1.5.16. Цапфа подшипника скольжения представляет собой деталь, состоящую из параллелепипеда и цилиндрической опоры (рис. 1.5.18). Определить координаты центра тяжести цапфы. Размеры указаны в миллиметрах.

Ответ: , ,

Задача 1.5.17. Однородное тело, сечение которого изображено на рисунке 1.5.19, состоит из полушара, цилиндрической части и кругового конуса. Определить координаты центра тяжести тела. Размеры указаны в миллиметрах.

Ответ: , ,

Задача 1.5.18. Ствол танковой пушки имеет форму усеченного конуса длины (рис. 1.5.20). Наружный диаметр ствола в месте крепления к казенной части пушки наружный диаметр в сечении, соответствующем дульному срезу канала ствола, Калибр пушки d =100 мм. Определить координату центра тяжести ствола.

Ответ:

Задача 1.5.19. Определить координаты центра тяжести однородного тела, состоящего из двух прямоугольных параллелепипедов (рис. 1.5.21). В нижнем параллелепипеде сделан вырез в форме четверти цилиндра с радиусом основания R = 10 см. Размеры на рисунке указаны в см.

Ответ: x_C = 17,1 см, y_C = 20,99 см, z_C = 7,84 см.

Задача 1.5.20. Определить координаты центра тяжести однородного тела (рис. 1.5.22), состоящего из треугольной призмы и параллелепипеда с вырезом. Размеры на рисунке указаны в см.

Рис. 1.5.19	Рис. 1.5.20
Рис. 1.5.21	Рис. 1.5.22

Ответ: x_C = 20,14 см, y_C = 35,14 см, z_C = 5 см.

 

 

Часть 2. Кинематика

Кинематика точки

Существуют три аналитических способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

При векторном способе радиус-вектор движущейся точки задается как функция времени . Векторы скорости и ускорения точки равны соответственно первой и второй производной по времени от радиус-вектора:

, .

Связь между радиус-вектором и декартовыми координатами точки выражается равенством: , где , , – орты осей координат.

При координатном способе закон движения точки в декартовой системе координат дается заданием трех функций: , , . Проекции скорости и ускорения на оси координат, а также модули скорости и ускорения точки определяются по формулам:

, , , ,

.

При естественном способе задается траектория точки и закон движения точки по траектории , где криволинейная координата отсчитывается вдоль дуги от некоторой фиксированной точки на траектории. Алгебраическое значение скорости определяется по формуле , а ускорение точки равно геометрической сумме касательного и нормального ускорений, т.е. , , , , – радиус кривизны траектории в данной точке.

Пример 2.1.1. Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям , (х ,у – в м, t – в с). Найти:

– уравнение траектории;

– скорость и ускорение в начальный момент;

– высоту и дальность обстрела;

– радиус кривизны в начальной и в наивысшей точках траектории.

Решение:

1. Получим уравнения траектории снаряда, исключая параметр t из уравнений движения

.

Траектория снаряда – это участок параболы (рис. 2.1.1), имеющий ограничивающие точки: начальную с координатами х = 0, у = 0 и конечную, для которой х = L (дальность полета), у = 0.

2. Определим дальность полета снаряда, подставив у = 0 в уравнение траектории. Откуда найдем L = 24000 м.

3. Скорость и ускорение снаряда найдем по проекциям на оси координат:

В начальный момент времени v₀ = 500 м/с, а = 10 м/с².

4. Для определения высоты полета снаряда найдем время t₁ полета до этой точки. В высшей точке проекция скорости на ось y равна нулю (рис. 2.1.1), , откуда t₁ = 40 с. Подставив t₁ в выражение для координаты у, получим значение высоты Н = 8000 м.

5. Радиус кривизны траектории

, где .

Откуда

м; м.

Пример 2.1.2.В кривошипно-ползунном механизме (рис. 2.1.2) кривошип 1 вращается с постоянной угловой скоростью рад/с. Найти уравнения движения, траекторию и скорость средней точки М шатуна 2, если ОА = АВ = 80 см.

Решение:

1. Запишем уравнения движения точки M в координатной форме (рис. 2.1.3)

2. Уравнение траектории получим, исключив время t из уравнения движения:

Траектория точки М – эллипс с центром в начале координат и полуосями 120 см и 40 см.

3. Скорость точки определим по проекциям на оси координат

Откуда

Задача 2.1.1.По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории в координатной форме.

Уравнение движения	Ответ

 

Задача 2.1.2. Найти уравнение траектории в координатной форме и закон движения точки по траектории, если даны уравнения ее движения в декартовых координатах. За начало отсчета дуговой координаты s принять начальное положение точки.

Уравнение движения	Ответ
	, ;
	;
	;
	;

 

Задача 2.1.3. Движение точки задано уравнениями , ( – в см, – в с). Найти уравнение траектории точки в координатной форме, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент времени с. Изобразить траекторию точки и найденные векторы скорости и ускорений на чертеже.

Ответ: ; v₁ = 3,56 см/с; a₁ = 1,31 см/с²; a_τ = 0,61 см/с², a_n = 1,16 см/с², ρ = 10,93 см.

Задача 2.1.4. Движение точки задано уравнениями , ( – в см, – в с). Найти уравнение траектории точки, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки в момент времени . Найти радиус кривизны траектории. Изобразить траекторию точки и найденные векторы скорости и ускорений на чертеже.

Ответ: ; v₀ = 0; a₀ = 7,2 см/с²; a_τ = 7,2 см/с², a_n = 0, ρ = ∞.

Задача 2.1.5. Движение точки задано уравнениями ,
(k и – положительные постоянные величины). Найти уравнение траектории точки, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки. Найти радиус кривизны траектории. Изобразить траекторию точки и векторы скорости и ускорений в момент времени на чертеже.

Ответ: , , , , , .

Задача 2.1.6. Движение точки задано уравнениями , ( – в см, – в с). Найти уравнение траектории точки, скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в момент времени t₁ = 1,5 с. Изобразить траекторию точки и найденные векторы скорости и ускорений на чертеже.

Ответ: ; v₁ = 3,85 см/с; a₁ = 3,49 см/с²; a_τ = 2,01 см/с², a_n = 2,85 см/с², ρ = 5,2 см.

Рис. 2.1.4

Задача 2.1.7. Стержень (рис. 2.1.4) движется в плоскости так, что его концы все время остаются на осях координат. Угол j, образуемый стержнем с осью , меняется по закону рад. Найти уравнения движения и траекторию точки стержня, ее скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в момент времени, когда , если AB = 10 см, AD = 6 см.

Ответ: ; ; ; v₁ = 9,42 см/с; a₁ = 9,87 см/с²; a_τ = 0, a_n = 9,87 см/с², ρ = 9 см.

Рис. 2.1.5

Задача 2.1.8. Трубка 1 (рис. 2.1.5) вращается в плоскости Oxy с постоянной угловой скоростью ω. Шарик 2 скользит по трубке согласно закону . Найти уравнения движения шарика в декартовых координатах, законы изменения его скорости и ускорения, а также радиус кривизны траектории шарика в той точке, которую шарик пройдет со скоростью u.

Ответ: , , , , .

Задача 2.1.9.Точка движется по окружности радиуса 8 м по закону
( – длина дуги в м, – время в с). Определить законы изменения скорости и ускорения точки.

Ответ: м/с, м/с².

Задача 2.1.10.Точка, двигаясь равнозамедленно по окружности, за 0,5 с прошла путь 2 м, равный половине длины окружности. Определить скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения точки при t = 0,5 с, если ее начальная скорость равна 5 м/с.

Ответ: v = 3 м/с; a = 14,69 м/с²; a_τ = 4 м/с², a_n = 14,14 м/с².

Задача 2.1.11.Точка движется по окружности радиуса 1,5 м. Когда угол между векторами скорости и ускорения точки составляет 60°, а модуль ускорения равен 7,5 м/с². Определить скорость точки, касательное и нормальное ускорения в этот момент движения.

Ответ: v = 3,12 м/с; a_τ = 3,75 м/с², a_n = 6,5 м/с².

Задача 2.1.12.Точка движется по некоторой траектории по закону
( – длина дуги в м, – время в с). Определить радиус кривизны траектории в положении, которое займет точка, спустя две секунды после начала движения, если в этот момент векторы скорости и ускорения точки составляют угол 30°.

Ответ: 10,39 м.

Задача 2.1.13.Точка движется по дуге окружности радиуса R так, что центральный угол , опирающийся на эту дугу, изменяется по закону . Найти для точки: 1) закон движения в естественной форме; 2) касательное и нормальное ускорения точки в те моменты времени, когда и когда угол наибольший.

Ответ: 1) ; 2) , , ; , ,