Сферическое движение твердого тела

Сферическим называетсядвижение твердого тела, при котором одна из точек тела (или жестко связанная с ним точка) во все время движения остается неподвижной. При сферическом движении твердого тела в каждый момент движения существует прямая жестко связанная с телом (мгновенная ось вращения), скорости точек которой равны нулю.

Теорема.Скорость любой точки тела при его сферическом движении находится как вращательная вокруг мгновенной оси вращения с угловой скоростью :

,

где - радиус-вектор соответствующей точки, проведенный из неподвижной точки, жестко связанной с телом.

Следствие.Проекции скоростей двух точек тела при его сферическом движении на направление вектора, соединяющего эти точки, равны между собой.

Теорема.Ускорение любой точки твердого тела при его сферическом движении равно геометрической сумме вращательного и осестремительного ускорений.

Пример 2.6.1.Сплошной однородный прямой круговой конус с высотой и углом 2α при вершине (рис. 2.6.1) катится без скольжения по неподвижной плоскости. Ось симметрии конуса вращается равномерно вокруг вертикальной оси с угловой скоростью . Определить модули скорости и ускорения точек и , расположенных в основании конуса.

Рис. 2.6.1

 

Решение (первый способ):

1. Конус совершает сферическое движение, при котором вершина конуса остается неподвижной. Мгновенная ось вращения совпадает с образующей конуса, касающейся неподвижной плоскости. Выберем систему координат так, чтобы мгновенная ось вращения совпадала с осью (рис. 2.6.2). Изобразим векторы угловой скорости переносного (вокруг оси ) и относительного (вокруг оси ) вращений и .

Рис. 2.6.2

2. Определим угловую скорость конуса, рассматривая его движение как сложное. При этом

,

где , , .

Откуда

.

3. Определим угловое ускорение конуса как скорость конца вектора , поворачивающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью по формуле Эйлера

= = .

4. Скорости точек вычислим по формуле Эйлера

,

где – радиус-вектор точки ;

; ;

; .

Откуда

; = ;

= . .

5. Ускорения точек определим как сумму осестремительного и вращательного ускорений по формулам

; .

Откуда

;

; .

6. Аналитический метод определения скоростей и ускорений точек при его сферическом движении может быть реализован в матричной форме с помощью равенств

,

где

– вектор-столбец координат точек тела;

– матрица угловой скорости;

– матрица углового ускорения;

.

 

Решение (второй способ):

1. Определим угловую скорость конуса. Конус совершает сферическое движение, так как одна его точка (точка О) остается во время движениянеподвижной. Мгновенная ось вращения OP совпадает с образующей конуса OA₄. Покажем сечение конуса вертикальной плоскостью и совместим его с координатной плоскостью (рис. 2.6.3). Через ось конуса OС и мгновенную ось вращения проведем плоскость p, которая вращается вокруг оси с угловой скоростью . Точка С все время находится в плоскости p и траекторией этой точки будет окружность радиуса CD. Ее ее скорость определяется равенством

.

Скорость точки С вращательной скоростью вокруг мгновенной оси и угловая скорость конуса определяется равенством

.

Вектор угловой скорости направлен по мгновенной оси так, что с конца этого вектора вращение тела видно против хода часовой стрелки.

2. Определим угловое ускорение конуса как скорость точки E – конца вектора угловой скорости (рис. 2.6.3)

.

Вектор направлен по оси OQ, которая называется осью углового ускорения (рис. 2.6.3).

3. Определим скорости точек конуса как вращательные при его движении вокруг мгновенной оси вращения. Так как точка A₄ находится на мгновенной оси вращения то (рис. 2.6.3). Скорость точки A₂ определяется равенством

.

Вектор скорости точки A₂ направлен параллельно оси .

4. Определим ускорения точек A₂, A₄ и С конуса как сумму их вращательных и осестремительных ускорений

где , .

Откуда для точки A₄

,

Вектор ускорения точки A₄ совпадает с вектором вращательного ускорения и направлен параллельно оси (рис. 2.6.4)

Для точки A₂

, .

Вектор вращательного ускорения направлен перпендикулярно отрезку ОА₂, вектор осестремительного ускорения направлен к мгновенной оси вращения и параллелен оси (рис. 2.6.4)

Модуль ускорения точки A₂ удобно определить координатным способом через проекции на неподвижные оси координат:

Откуда

.

Так как точка С все время находится в плоскости , которая равномерно вращается вокруг оси , то

Вектор ускорения точки С направлен к оси z (рис. 2.6.4).

Рис. 2.6.3 Рис. 2.6.4

 

Задача 2.6.1. Прямолинейный стержень длины 0,2 м, шарнирно закрепленный в точке (рис. 2.6.5), движется согласно уравнениям . Определить угловые скорость и ускорение стержня, а также скорость и ускорение точки A стержня в момент времени 1 с.

Ответ: 1,89 рад/с; 1,64 рад/с², м/с; 0,7 м/с².

Задача 2.6.2. Диск 1 радиуса приводится в движение горизонтальным кривошипом 2 длины , вращающимся вокруг вертикальной оси согласно закону (рис. 2.6.6). Определить угловые скорость и ускорение диска при его движении без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости в момент времени 1 с.

Ответ: ; .

Рис. 2.6.5 Рис. 2.6.6 Рис. 2.6.7

 

Задача 2.6.3. Диск 1 радиуса приводится в движение горизонтальным кривошипом 2 длины , вращающимся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью (рис. 2.6.7). Определить скорости и ускорения точек А, B, C и D, если диск катится по горизонтальной плоскости без скольжения, .

Ответ: , , , , , , , .

Задача 2.6.4. Сплошной однородный прямой круговой конус с высотой и углом 2α при вершине катится без скольжения по неподвижной плоскости. Скорость центра масс конуса постоянна и равна . Определить скорость и ускорение точки, наиболее удаленной от неподвижной плоскости.

Ответ: ; .

Задача 2.6.5. Шар 1 радиуса = 1 м свободно насажен на стержень 2 (рис. 2.6.8), жестко прикрепленный к вращающемуся с постоянной угловой скоростью 0,5 рад/с валу 3, и может катиться без проскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости. Определить скорость и ускорение точек шара: а) наиболее удаленной от оси вала; б) самой близкой к оси вала; в) точки касания шара и горизонтальной плоскости; г) наиболее удаленной от горизонтальной плоскости, если расстояние от центра шара до оси вала равно 3 м.

Ответ: а) м/с; 5,26 м/с²; б) м/с; 3,95 м/с²;
в) ; 3,75 м/с²; г) м/с; 5,03 м/с².

Задача 2.6.6. Шар радиуса r катится без проскальзывания в прямом цилиндрическом стакане c радиусом основания R, одновременно касаясь его дна и стенки (рис. 2.6.9). Определить угловое ускорение шара, если его центр, двигаясь с постоянной скоростью, делает полный оборот вокруг оси цилиндра за T c.

Ответ: .

Рис. 2.6.8 Рис. 2.6.9 Рис. 2.6.10

 

Задача 2.6.7. Дифференциальная передача состоит из водила 1 и двух конических шестерен 2 и 3 (рис. 2.6.10). Угловая скорость водила ω₁ и шестерни 2 ω₂ постоянны. Найти угловое ускорение шестерни 3, если ω₁ > ω₂.

Ответ: .

Задача 2.6.8. Бегун 1 дробильной мельницы (рис. 2.6.11), представляющий собой усеченный конус с углом при вершине, приводится в движение штангой 3, вращающейся вместе с валом 4 с постоянной угловой скоростью . Определить ускорение точки контакта бегуна и чаши, отстоящей от осей относительного и переносного вращений на расстояниях и , соответственно, если проскальзывание между бегуном и неподвижной чашей 2 отсутствует.

Ответ: .

Рис. 2.6.11 Рис. 2.6.12

 

Задача 2.6.9. Прямой круговой конус 1 с углом 2α = 60° при вершине и радиусом основания R = 1 м катится без скольжения по круговому конусу 2 с углом 2β = 120° при вершине (рис. 2.6.12). Найти скорость и ускорение точки M основания конуса 1 в положении, когда радиус O₁M горизонтален, если скорость центра основания постоянна и равна 3 м/с.

Ответ: м/с; 13,06 м/с².