Представление бинарных деревьев

Одной из областей применения списков является представление множества объектов. Недостатком представления множества в виде списка является неэффективная процедура проверки принадлежности элемента множеству. Используемый для этой цели предикат member неэффективен при использовании больших списков.

Для представления множеств могут использоваться различные древовидные структуры, которые обеспечивают более эффективную реализацию проверки принадлежности элемента множеству, в частности, в данном разделе для этой цели рассматриваются бинарные деревья.

Представление бинарных деревьев основано на определении рекурсивной структуры данных, использующей функцию типа tree (Top, Left, Right) или tree (Left, Top, Right), где Top - вершина дерева, Left и Right - соответственно левое и правое поддерево. Пустое дерево обозначим термом nil. Объявить бинарное дерево можно следующим образом:

Пример 45:

domains

treetype1=tree(symbol, treetype1, treetype1);nil

treetype2=tree(treetype2, symbol, treetype2);nil

Пример 46:

Пусть дано дерево следующего вида:

a

b c

d e

Такое дерево может быть задано следующим образом:

1. левое поддерево: tree (b, tree (d, nil, nil), tree (e, nil, nil)).

2. правое поддерево: tree (c, nil, nil).

3. все дерево: tree (a, tree (b, tree (d, nil, nil), tree (e, nil, nil)), tree (c, nil, nil)).

Пример 47: написать программу проверки принадлежности вершины бинарному дереву.

domains

treetype = tree(symbol, treetype, treetype);nil()

predicates

in(symbol, treetype)

clauses

in(X, tree(X,_,_).

in(X, tree(_,L,_):-in(X, L).

in(X, tree(_,_,R):-in(X, R).

goal

in(d,tree(a, tree(b, tree(d, nil, nil),

tree(e, nil, nil)),

tree(c, nil, nil))).

Поиск вершины в неупорядоченном дереве также неэффективен, как и поиск элемента в списке. Если ввести отношение упорядочения между элементами множества, то процедура поиска элемента становится гораздо эффективнее. Можно ввести отношение упорядочения слева направо непустого дерева tree(X, Left, Right) следующим образом:

1. Все узлы в левом поддереве Left меньше X.

2. Все узлы в правом поддереве Right больше X.

3. Оба поддерева также являются упорядоченными.

Преимуществом упорядочивания является то, что для поиска любого узла в дереве достаточно провести поиск не более, чем в одном поддереве. В результате сравнения узла и корня дерева из рассмотрения исключается одно из поддеревьев.

Пример 48: написать программу проверки принадлежности вершины упорядоченному слева направо бинарному дереву.

domains

treetype = tree(byte, treetype, treetype);nil()

predicates

in(byte, treetype)

clauses

in(X, tree(X,_,_).

in(X, tree(Root,L,R):-Root>X,in(X, L).

in(X, tree(Root,L,R):-Root<X,in(X, R).

goal

in(6,tree(4, tree(2, nil, tree(3, nil, nil)),

tree(5,tree(1,nil,nil),nil)),tree(8,tree(7,nil,nil),tree(9,nil,tree(10,nil,nil)))).

Пример 49: написать программу печати вершин бинарного дерева, начиная от корневой и следуя правилу левого обхода дерева.

domains

treetype = tree(symbol, treetype, treetype);nil()

predicates

print_all_elements(treetype)

clauses

print_all_elements(nil).

print_all_elements(tree(X, Y, Z)) :-

write(X), nl, print_all_elements(Y),

print_all_elements(Z).

goal

print_all_elements(tree(a, tree(b, tree(d, nil, nil),

tree(e, nil, nil)),

tree(c, nil, nil))).

Пример 50: написать программу проверки изоморфности двух бинарных деревьев.

domains

treetype = tree(symbol, treetype, treetype);nil

predicates

isotree (treetype, treetype)

clauses

isotree (T, T).

isotree (tree (X, L1, R1), tree (X, L2, R2)):- isotree (L1, L2), isotree (R1, R2).

isotree (tree (X, L1, R1), tree (X, L2, R2)):- isotree (L1, R2), isotree (L2, R1).

Пример 51: написать предикаты создания бинарного дерева из одного узла и вставки одного дерева в качестве левого или правого поддерева в другое дерево.

domains

treetype = tree(symbol, treetype, treetype);nil

predicates

create_tree(symbol, tree)

insert_left(tree, tree, tree)

insert_rigth(tree, tree, tree)

clauses

create_tree(N, tree(N,nil,nil)).

insert_left(X, tree(A,_,B), tree(A,X,B)).

insert_rigth(X,tree(A,B,_), tree(A,B,X)).

goal

create_tree(a, T1)), insert_left(tree(b, nil, nil), tree(c, nil, nil), T2),

insert_rigth(tree(d, nil, nil), tree(e, nil, nil), T3).

В результате: T1=tree(a, nil, nil), T2=tree(c, tree(b, nil, nil), nil), T3=tree(d, nil, tree(e, nil, nil)).