Коэффициент корреляции Пирсона (rxy)

Это наиболее часто употребляемый метод измерения корреляции. Встречается название «коэффициент линейной корреляции Пирсона», которое отражает принцип работы данного метода. Данный коэффициент показывает, насколько близко находятся точки графика рассеяния к прямой линии (прямой регрессии), проведенной через центральною часть их скопления так, чтобы сумма квадратов расстояний от точек до нее была минимальна. Чем ближе точки к прямой регрессии, тем выше корреляция. Корректное использование данного коэффициента возможно только в случае, когда переменные измерены в интервальной или относительной шкалах.

Требования к выборке

Объем выборки исследования: для использования r-Пирсона объем выборки n1≥30 и n2≥30;

Распределение: для использования r-Пирсона должно соответствовать нормальному виду.

Коэффициент корреляции Пирсона может быть вычислен по формуле

где r — коэффициент линейной корреляции;

х, у — средние выборочные значения сравниваемых величин;

х., у — частные выборочные значения сравниваемых величин;

n — общее число величин в сравниваемых рядах показателей;

Коэффициент корреляции Пирсона может принимать значения от -1 до +1. Положительная величина коэффициента корреляции (0 < rxy < 1) свидетельствует о наличии прямой связи (т. е. чем больше значения х, тем выше соответствующие им величины у).

Интерпретация коэффициента корреляции производится исходя из уровня силы связи:

r>0,01≤0,29 – слабая положительная связь,

r>0,30≤0,69 – умеренная положительная связь,

r>0,70≤1,00 – сильная положительная связь,

r>-0,01≤-0,29 – слабая отрицательная связь,

r>-0,30≤-0,69 – умеренная отрицательная связь,

r>-0,70≤-1,00 – сильная отрицательная связь.

При r = 0 принято говорить об отсутствии линейной корреляции. Если все точки на графике рассеяния лежат на одной прямой (rху=\ или rxy=-1), то такую связь называют абсолютной (функциональной). Однако просто вычислить коэффициент корреляции еще недостаточно для заключения о характере связи между переменными.

Необходимо также показать статистическую достоверность полученного коэффициента, т. е. оценить вероятность того, что выявленная связь действительно имеет место, а не есть результат действия случайных факторов. Это можно сделать как минимум двумя способами. Во-первых, сравнить рассчитанную величину коэффициента с критическим значением, при котором он может быть признан статистически значимым. Если величина эмпирического коэффициента равна или превышает критическую для данного числа объектов наблюдений (без учета знака, т. е. рассматриваем модуль числа), то выявленная связь признается статистически значимой с соответствующей величиной доверительной вероятности. Второй способ предусматривает определение величины среднеквадратической ошибки коэффициента корреляции с последующим расчетом t-критерия Стьюдента. Он несколько более трудоемок, но позволяет дополнительно получить представление о возможности экстраполяции выборочного коэффициента на всю генеральную совокупность.

Однако, несмотря на кажущуюся простоту применения коэффициента корреляции Пирсона, необходимо помнить о нескольких обстоятельствах, способных сильно исказить истинную картину отношений между показателями, а иногда и привести к ложному заключению.

Во-первых, наличие корреляционной связи не всегда свидетельствует о том, что одна переменная (x) непосредственно влияет на другую (у). Нельзя исключить, что x и у не зависят друг от друга, но зависят от действия неуч- темной исследователем третей переменной (z), которая и заставляет их синхронно изменяться. В этом случае выявленная корреляция между х и у будет ложной. Например, если выявлена прямая сильная корреляция между повышением успеваемости мальчиков (х) и девочек (у), то, по-видимому, не следует торопиться делать вывод о том, что хорошо успевающие мальчики оказывают выраженное положительное влияние на успеваемость девочек, или наоборот. Очевидно, следует поискать влияющую третью переменную (z), скажем, состоявшийся переход на новую программу обучения, которая и определяет синхронную положительную динамику успеваемости как мальчиков, так и девочек.

Во-вторых, неоправданно часто при анализе связи признаков или явлений используется термин «взаимосвязь», предусматривающий обоюдное влияние переменных друг на друга. Так, если выявлена обратная корреляция между уровнем личностной тревожности родителей и уровнем развития творческих способностей их детей, термин «взаимосвязь» будет вряд ли уместен, поскольку очевидно, что тревожность родителей может влиять на креативность детей (при низких уровнях тревожности у родителей, для детей существует большая свобода при выборе способов действия и большее одобрение со стороны родителей при их самостоятельной активности и наоборот, при повышении линейной корреляции не исключает наличие других видов связи между показателями.

В-третьих, линейная корреляция очень чувствительна к наличию одной или нескольких точек, расположенных на достаточно большом расстоянии от основной группы. Такая реакция обусловлена принципом использования квадратов расстояний при построении прямой регрессии. Если точек мало, а их координаты резко отличаются от величин показателей в основной группе, то исследователь может трактовать такие объекты как выбросы (случайные значения). В этом случае исключение таких нетипичных значений может оказать существенную помощь в установлении истинной закономерности. Однако, исключая «выдающиеся» значения в качестве «выбросов», исследователь всегда рискует потерять часть полезной информации, особенно если объем выборки невелик. Подобная проблема возникает при изучении неоднородной группы, состоящей из двух и более подгрупп.

23. Коэффициенты связи для порядковых данных. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена. Ограничения в применении.