Три знаменитых задачи древности 1 страница

 ðàçâèòèè ñîäåðæàíèÿ è ñïîñîáîâ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè äðåâíåé Ãðåöèè âûäàþùóþñÿ ðîëü ñûãðàëè òðè çàäà÷è: òðèñåêöèÿ óãëà, óäâîåíèå êóáà (äåëèéñêàÿ çàäà÷à) è êâàäðàòóðà êðóãà.

Ïðîáóæäåíèå îñîáîãî èíòåðåñà ê ýòèì çàäà÷àì èìåííî â äðåâíåé Ãðåöèè íå ñëó÷àéíî. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòèêè êàê äåäóêòèâíîé ñèñòåìû, áàçèðóþùåéñÿ íà ãåîìåòðè÷åñêîì ôóíäàìåíòå äâå ïåðâûå çàäà÷è ïîÿâëÿþòñÿ êàê åñòåñòâåííûå îáîáùåíèÿ áîëåå ýëåìåíòàðíûõ çàäà÷. Çàäà÷à î êâàäðàòóðå êðóãà áûëà ïîëó÷åíà “ïî íàñëåäñòâó” îò äðåâíèõ åãèïòÿí è âàâèëîíÿí.

Трисекция угла. Äàí ÐÀÂÑ, òðåáóåòñÿ ðàçäåëèòü åãî íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è îòíîñèòñÿ ê ëþáîìó óãëó è ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàäà÷è î äåëåíèè äàííîãî óãëà íà äâå ðàâíûå ÷àñòè.

Удвоение куба. Ïîñòðîèòü êóá, îáúåì êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå îáúåìà äàííîãî êóáà. Ïîñòðîèòü êâàäðàò, ïëîùàäü êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå ïëîùàäè äàííîãî êâàäðàòà. Åñëè ñòîðîíà äàííîãî êâàäðàòà à, à èñêîìîãî õ, òî õ²=2à²; . Ñëåäîâàòåëüíî, ñòîðîíà èñêîìîãî êâàäðàòà ðàâíà äèàãîíàëè äàííîãî. Îòñþäà îñóùåñòâèìîñòü ïîñòðîåíèÿ öèðêóëåì è ëèíåéêîé èñêîìîãî êâàäðàòà AA`CC` (ðèñ. 2).

Âïîëíå åñòåñòâåííî áûëî ïåðåéòè îò ýòîé çàäà÷è íà ïëîñêîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è â ïðîñòðàíñòâå: ïîñòðîèòü êóá, îáúåì êîòîðîãî â äâà ðàçà áîëüøå îáúåìà äàííîãî êóáà.

Квадратура круга. Ïîñòðîèòü êâàäðàò, ïî ïëîùàäè ðàâíûé äàííîìó êðóãó.

Íè îäíà èç óêàçàííûõ çàäà÷ íå ðàçðåøèìà öèðêóëåì è ëèíåéêîé.

4. Преодоление кризиса основ
древнегреческой математики

Ïèôàãîðåéöû çàëîæèëè îñíîâû ãåîìåòðè÷åñêîé àëãåáðû. Òåýòåò è Åâêëèä óñòàíîâèëè êëàññèôèêàöèþ êâàäðàòè÷íûõ èððàöèîíàëüíîñòåé.

Åâäîïñ ðàçâèë îáùóþ òåîðèþ ïðîïîðöèé — ãåîìåòðè÷åñêèé ýêâèâàëåíò òåîðèè ïîëîæèòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë — è ðàçðàáîòàë ìåòîä èñ÷åðïûâàíèÿ — çà÷àòî÷íóþ ôîðìó òåîðèè ïðåäåëîâ, îñíîâàííóþ íà ãåîìåòðè÷åñêîé áàçå. Ýòè òåîðèè ñîçäàëè ïðî÷íûé êàðêàñ çäàíèÿ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè, ôóíäàìåíòîì êîòîðîãî áûëà ãåîìåòðèÿ; òåì ñàìûì ïðåîäîëåâàëèñü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ôàêòîì ñóùåñòâîâàíèÿ íåñîèçìåðèìûõ âåëè÷èí.

×òîáû èçáåæàòü òðóäíîñòåé â îáîñíîâàíèè ìàòåìàòèêè, ñâÿçàííûõ ñ ïàðàäîêñàìè áåñêîíå÷íîñòè (Çåíîí, Àðèñòîòåëü), áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ äðåâíåé Ãðåöèè ïðåäïî÷ëè îòêàçàòüñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ â ìàòåìàòèêå èäåé áåñêîíå÷íîñòè è äâèæåíèÿ èëè ñâåñòè èõ ïðèìåíåíèå ê ìèíèìóìó.  êà÷åñòâå òàêîãî ìèíèìóìà áûëî ïðèíÿòî óòâåðæäåíèå î íåîãðàíè÷åííîé äåëèìîñòè ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí.

Ðàññìîòðåíèå òðåõ çíàìåíèòûõ çàäà÷ ïðèâåëî äðåâíåãðå÷åñêèõ ó÷åíûõ ê óáåæäåíèþ, ÷òî ðåøåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷è ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ âûïîëíåííûì ñòðîãî ãåîìåòðè÷åñêè ëèøü ïðè óñëîâèè èñïîëüçîâàíèÿ òîëüêî (èäåàëüíûõ) öèðêóëÿ è ëèíåéêè. Èñïîëüçîâàíèå ìåõàíè÷åñêèõ ñðåäñòâ â ãåîìåòðèè íå äîïóñêàåòñÿ.

Òîëüêî ïîñëå îñíîâîïîëàãàþùèõ ðàáîò ïèôàãîðåéöåâ, Òåýòåòà, Åâäîêñà è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ, ïîñëå ñîãëàøåíèÿ î íåîáõîäèìûõ îãðàíè÷åíèÿõ è äîïóñòèìûõ ñðåäñòâàõ ïîñòðîåíèÿ, Åâêëèä íàïèñàë “Íà÷àëà”, ïîñâÿùåííûå îñíîâàì è ìåòîäàì äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè.  “Íà÷àëàõ” Åâêëèäà êðèçèñ îñíîâ äðåâíåãðå÷åñêîé ìàòåìàòèêè áûë ïðåîäîëåí — êîíå÷íî, äëÿ ñâîåãî âðåìåíè, è, äîáàâèì, ïðåîäîëåí íå âî âñåõ ïóíêòàõ è íå âñåãäà ñîâåðøåííûì îáðàçîì.

II. Способы обоснования математики в
XVIII и в первой половине XIX века

1. Особенности способов обоснования
 математики в конце XVII и в XVIII веке

 êîíöå XVII è â XVIII âåêå âñå âîçðàñòàþùèå çàïðîñû ïðàêòèêè è äðóãèõ íàóê ïîáóæäàëè ó÷åíûõ ìàêñèìàëüíî ðàñøèðÿòü îáëàñòü è ìåòîäû èññëåäîâàíèé ìàòåìàòèêè. Ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íîñòè, äâèæåíèÿ è ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè âûäâèãàþòñÿ íà ïåðâîå ìåñòî, ñòàíîâÿòñÿ îñíîâîé íîâûõ ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè.

 êîíöå XVII è â XVIII âåêå â ìàòåìàòèêå è ìåõàíèêå áûëè ïîëó÷åíû êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ôóíäàìåíòàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Îñíîâíûì çäåñü áûëî ðàçâèòèå äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ è àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Çíà÷èòåëüíûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû â àëãåáðå è òåîðèè ÷èñåë. À. Ýéëåð, à âñëåä çà íèì è íåêîòîðûå äðóãèå ó÷åíûå âòîðîé ïîëîâèíû XVIII âåêà ïðîäåëàëè áîëüøóþ ðàáîòó ïî ñèñòåìàòèçàöèè ñîäåðæàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí, â ïåðâóþ î÷åðåäü ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, à âìåñòå ñ íèì àëãåáðû è òðèãîíîìåòðèè.

Âìåñòå ñ òåì, â ðàññìàòðèâàåìûé ïåðèîä ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé — îñîáåííî äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ — ðåçêî îòñòàâàëè îò áóðíî ðàçâèâàþùåãîñÿ ñîäåðæàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ýòî îòñòàâàíèå ïðîÿâèëîñü â ðàçëè÷íûõ, ìåæäó ñîáîé ñâÿçàííûõ ôîðìàõ è ïðèòîì ñâîåîáðàçíî â îòäåëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ.

Îáùåé ÷åðòîé ïîïûòîê îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè ñ êîíöà XVII è ïëàíîìåðíî äî ïîñëåäíåé ÷åòâåðòè XVIII âåêà áûëî ñòðåìëåíèå îáîñíîâàòü êàæäóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ èñòèíàìè ýëåìåíòàðíîé, “íèçøåé” (ïî òåðìèíîëîãèè Ô. Ýíãåëüñà) ìàòåìàòèêè, ò. å. ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè, êàêîé îíà áûëà ïðèìåðíî äî îòêðûòèÿ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ýòî ñòðåìëåíèå ïðîÿâèëîñü â äâóõ ôîðìàõ. Ñíà÷àëà ìàòåìàòèêè ïûòàëèñü âîçäâèãíóòü ðàçâèâàåìûå èìè ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè íà ôóíäàìåíòå, ïîñòðîåííîì â ñâîå âðåìÿ äëÿ îáîñíîâàíèÿ “íèçøåé” ìàòåìàòèêè. Ýòî õîðîøî ïîêàçûâàþò ãîñïîäñòâîâàâøèå â òî âðåìÿ ñïîñîáû îáîñíîâàíèÿ àëãåáðû è ó÷åíèÿ î ÷èñëå. Åñëè æå òàêîå ïîñòðîåíèå ÿâíî íå óäàâàëîñü (÷òî áûëî îñîáåííî ÿñíî â îòíîøåíèè äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ñ ìîìåíòà åãî âîçíèêíîâåíèÿ), òî ñòàðàëèñü îáîñíîâàòü ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ íà ïðèíöèïàõ, ñïåöèàëüíî äëÿ íå¸ ðàçðàáîòàííûõ, ñîäåðæàíèå êîòîðûõ ìîæíî ìàêñèìàëüíî ñîãëàñîâàòü, “ïðèìèðèòü” (Ýíãåëüñ) ñ èñòèíàìè “íèçøåé” ìàòåìàòèêè.