Три знаменитых задачи древности 7 страница

|x_n+m–x_n|<e.

Ýòà òåîðåìà â êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü.

Êîãäà ñòàëè ðàçðàáàòûâàòü íîâóþ òåîðèþ ïðåäåëîâ, ïîíÿòèå ðÿäà, ðàíåå íå ðàñ÷ëåíÿåìîå íà ðÿäû ñõîäÿùèåñÿ è íåñõîäÿùèåñÿ, ïîëó÷èëî ïî ýòèì ïðèçíàêàì îñíîâíîå ïîäðàçäåëåíèå. Áëàãîäàðÿ ýòîìó óäàëîñü óñòàíîâèòü òî÷íîå ïîíÿòèå ñóììû ðÿäà è íàïðàâèòü ïî ïðàâèëüíîìó ïóòè ðàçðàáîòêó òåîðèè ÷èñëîâûõ è ñòåïåííûõ ðÿäîâ.  äàëüíåéøåì, â ñâÿçè ñ ðàçðàáîòêîé ïðîáëåì òåîðèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ, áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ñõîäÿùèåñÿ ÷èñëîâûå ðÿäû ðàñïàäàþòñÿ íà äâà âèäà — àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû (Äèðèõëå, Ðèìàí). Ïî îñíîâíûì ñâîéñòâàì àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ñõîäíû ñ êîíå÷íûìè ñóììàìè; èõ ìîæíî ïåðåìíîæàòü è ïåðåñòàâëÿòü â íèõ ÷ëåíû. Óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò íèõ; Ðèìàí äîêàçàë, ÷òî â ëþáîì, óñëîâíî ñõîäÿùåìñÿ ðÿäå ìîæíî òàê ïåðåñòàâèòü åãî ÷ëåíû, ÷òî âíîâü ïîëó÷åííûé ðÿä áóäåò èìåòü ñóììîé íàïåðåä çàäàííîå ÷èñëî; ìîæíî òàêæå äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû íîâûé ðÿä îêàçàëñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, àëãîðèòìû, îñíîâàííûå íà ñâîéñòâå êîíå÷íûõ ñóìì, ìîæíî îòíîñèòü òîëüêî ê àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ ðÿäàì. Ê ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà îòíîñèòñÿ îòêðûòèå Êîøè ôóíêöèè , äëÿ êîòîðîé ìîæíî ñîñòàâèòü ðÿä Ìàêëîðåíà, ñõîäÿùèéñÿ ïðè âñÿêîì õ, íî êîòîðûé ñõîäèòñÿ âñþäó ê íóëþ, à íå ê ýòîé ôóíêöèè.

Òåì ñàìûì áûëà äîêàçàíà îøèáî÷íîñòü èñõîäíîãî ïîëîæåíèÿ Ëàãðàíæà, ñäåëàííîãî èì ïðè ïîïûòêå îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå íà áàçå òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Îñîáóþ ðîëü ñûãðàëè èññëåäîâàíèÿ ïî òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäàì (Äèðèõëå, Ðèìàí, Ëîáà÷åâñêèé è äð.). Áëàãîäàðÿ èì íà÷àëà ñîçäàâàòüñÿ îáùàÿ òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, âêëþ÷èâøàÿ òåîðèþ ñòåïåííûõ ðÿäîâ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé.

Òàêîãî ðîäà ôàêòû çàñòàâèëè ìàòåìàòèêîâ îòêàçàòüñÿ îò íåîáîñíîâàííîãî, ÷àñòî ôîðìàëüíîãî ïåðåíåñåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ñâîéñòâ êîíå÷íûõ ñóìì íà âñå áåñêîíå÷íûå ðÿäû è ïîìîãëè èì ðàçðàáîòàòü íàó÷íûå ïðèíöèïû òåîðèè ðÿäîâ, áàçèðóþùèåñÿ íà òåîðèè ïðåäåëîâ.

Ýòè æå ôàêòû ïîìîãëè ìàòåìàòèêàì ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïîíÿòü, ïî÷åìó ìàòåìàòèêè XVIII âåêà íå ñìîãëè ñäåëàòü â òåîðèè ðÿäîâ òî, ÷òî óäàëîñü ñäåëàòü èì. Òàê, ñîïîñòàâèâ ñâîéñòâà àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ, Ðèìàí çàìåòèë:

“Òîëüêî ê ðÿäàì ïåðâîãî êëàññà ïðèìåíèìû çàêîíû êîíå÷íûõ ñóìì; òîëüêî ýòè ðÿäû ìîãóò áûòü â ïîäëèííîì ñìûñëå ðàññìàòðèâàåìû êàê ñóììà âñåõ ñâîèõ ÷ëåíîâ; î ðÿäàõ æå âòîðîãî êëàññà òîãî æå ñêàçàòü íåëüçÿ,— îáñòîÿòåëüñòâî, óïóùåííîå èç âèäà ìàòåìàòèêàìè ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ, âåðîÿòíî, ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî ðÿäû, ðàñïîëîæåííûå ïî âîçðàñòàþùèì ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé, âîîáùå ãîâîðÿ (ò. å. äëÿ âñåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé, êðîìå íåêîòîðûõ îòäåëüíûõ), ïðèíàäëåæàò ê ïåðâîìó êëàññó.”

Îïèñàííûé âûøå ïðîöåññ èçìåíåíèÿ ñîäåðæàíèÿ è êîðåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìåòîäîëîãèè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè ðÿäîâ â îáùèõ ÷åðòàõ áûë ïðèñóù áîëüøèíñòâó ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà.  ñâÿçè ñ ýòèì ñ ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ñîçäàåòñÿ, à âî âòîðîé ïîëó÷àåò âñåîáùåå ïðèçíàíèå íîâûé èäåàë ñòðîãîãî îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, ñâîäÿùèéñÿ ê òðåì òðåáîâàíèÿì:

íå ñ÷èòàòü íåâîçìîæíûì òî, ÷òî êàæåòñÿ ïàðàäîêñàëüíûì.

Ãàóññ ïèñàë: “Ìû íå ìîæåì ñìåøèâàòü òî, ÷òî íàì êàæåòñÿ íååñòåñòâåííûì, ñ òåì, ÷òî íàì êàæåòñÿ àáñîëþòíî íåâîçìîæíûì”.

èçó÷àòü âñå âîçìîæíîñòè, êàêèå ïðåäñòàâëÿåò ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî ýòîìó ðàçâèâàòü îáùèå òåîðèè.

 ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà ýòîò ïðèíöèï ñòàíîâèòñÿ ðóêîâîäÿùèì íà÷àëîì èññëåäîâàíèé ïî÷òè âñåõ âåäóùèõ ìàòåìàòèêîâ.

ïðåæäå ÷åì çàäàâàòüñÿ âîïðîñîì î çàâèñèìîñòè, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîé îñòà¸òñÿ íåèçâåñòíûì, ñëåäóåò ïîñòàâèòü âîïðîñ, âîçìîæíà ëè â äåéñòâèòåëüíîñòè òàêàÿ çàâèñèìîñòü.

(Àáåëü)

Âî âòîðîé ÷åòâåðòè XIX âåêà îáû÷íûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå â òåîðèè ôóíêöèé è äàæå â òåîðèè ÷èñåë.  òîæå âðåìÿ ðàçðàáîòêà ïðîáëåì ï-ìåðíîé ãåîìåòðèè è ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ïîòðåáîâàëà äàëüíåéøåãî îáîáùåíèÿ ïîíÿòèÿ ÷èñëà, ïåðåõîäà ê íîâîãî âèäà êîìïëåêñíûì ÷èñëàì ñ ï îñíîâíûìè åäèíèöàìè. Êîìïëåêñíûå è ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëà ñòàëè ïðåäñòàâèòåëÿìè èññëåäóåìûõ ðåàëüíûõ âåëè÷èí — âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå R_n; îòâåò íà çàäà÷ó, âûðàæåííûé êîìïëåêñíûì èëè ãèïåðêîìïëåêñíûì ÷èñëîì, èìåë â ýòîé îáëàñòè îáúåêòèâíûé ñìûñë. Îáúÿâëÿòü êîìïëåêñíûå (è ãèïåðêîìïëåêñíûå) ÷èñëà “ëîæíûìè”, “âîîáðàæàåìûìè”, “ìíèìûìè”, êàê ýòî äåëàëè ìàòåìàòèêè XVII–XVIII âåêîâ, ñòàëî íåâîçìîæíûì.

Àðèôìåòèêà êîìïëåêñíûõ è ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïîêàçàëà äàëåå, ÷òî ïåðåõîä ê íîâîé, áîëåå øèðîêîé îáëàñòè ÷èñåë ñâÿçàí, âî-ïåðâûõ, ñ íåîáõîäèìîñòüþ îáîáùàòü îïðåäåëåíèÿ äåéñòâèé, äàííûõ äëÿ èñõîäíîé îáëàñòè ÷èñåë è, âî-âòîðûõ, ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîòåðåé íåêîòîðûõ ñâîéñòâ, ïðèñóùèõ ÷èñëàì èñõîäíîé îáëàñòè ÷èñåë. Ïðè ïåðåõîäå îò äåéñòâèòåëüíûõ ê êîìïëåêñíûì ÷èñëàì ïðèøëîñü îòêàçàòüñÿ îò ñâÿçûâàíèÿ èõ çíàêàìè >, <.  àðèôìåòèêå êâàòåðíèîíîâ ñòàëî íåîáõîäèìûì äîïîëíèòåëüíî îòêàçàòüñÿ è îò çàêîíà ïåðåìåñòèòåëüíîñòè óìíîæåíèÿ. Çàêîíû ñ÷åòà — èñòîðè÷åñêè ñàìûå ñòîéêèå, à ïîýòîìó â ïîíèìàíèè ìàòåìàòèêîâ XVII–XVIII âåêîâ ñîñòàâëÿþùèå îñíîâó “íåèçìåííîé ñóùíîñòè” ïîíÿòèÿ ÷èñëà îêàçàëèñü çàêîíàìè ñ îãðàíè÷åííîé îáëàñòüþ äåéñòâèÿ.