Три знаменитых задачи древности 3 страница

Ðàññìàòðèâàÿ òîëüêî íåïðåðûâíîå è ìîíîòîííîå èçìåíåíèå ïåðåìåííûõ — â òî âðåìÿ òàê ïîñòóïàëè â ìåõàíèêå è ãåîìåòðèè,— Íüþòîí, Äàëàìáåð è íåêîòîðûå ìàòåìàòèêè XVIII âåêà òîëêîâàëè ïðåäåë òîëüêî êàê òî, ÷òî ïîðîæäàåòñÿ ïåðåìåííîé, ôàêòè÷åñêè êàê ïîñëåäíåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé èëè êàê ïîñëåäíåå îòíîøåíèå ïåðåìåííûõ. Âîïðîñ, äîñòèãàåò ëè ïåðåìåííàÿ ýòîãî ñâîåãî ïîñëåäíåãî çíà÷åíèÿ, èëè ìîæåò ïîäîéòè ê íåìó êàê óãîäíî áëèçêî, íèêàêîé ðîëè íå èãðàåò.  ïðàêòèêå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåë äåéñòâèòåëüíî èçâëåêàëñÿ èç ïåðåìåííîé êàê å¸ ïîñëåäíåå çíà÷åíèå, êîòîðîå îíà ïðèíèìàåò èëè ìîæåò ïðèíÿòü.  êîíöå XVIII âåêà Ëàçàð Êàðíî íàçûâàåò ïðåäåëîì ïîñëåäíåå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, êîòîðàÿ ê íåìó ïðèáëèæàåòñÿ. Äàæå â 40-õ ãîäàõ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ Â. Â. Áó­íèêîâñêèé ñ÷èòàë çàäà÷åé äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ “óëîâèòü îòíîøåíèÿ èçìåíÿþùèõñÿ ïî èçâåñòíîìó çàêîíó âåëè÷èí â òî ñàìîå ìãíîâåíèå, êîãäà ýòè âåëè÷èíû èñ÷åçàþò”, ò. å. óëîâèòü ïîñëåäíåå çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ ïåðåìåííûõ. Êàê ìû óâèäèì ýòà óçêàÿ (íî âûäàâàåìàÿ çà âñåîáùóþ) òðàêòîâêà ïîíÿòèÿ ïðåäåëà ñûãðàëà îñîáî âàæíóþ ðîëü â ðàçâåðòûâàíèè òðóäíîñòåé îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà â XVIII è íà÷àëå XIX âåêà.

Ìàòåìàòèêè XVII–XVIII âåêîâ ïîëàãàëè òàêæå, ÷òî ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(x) â êàæäîé òî÷êå, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, èõ êîíå÷íîãî ÷èñëà èìååò ïðîèçâîäíóþ f`(x). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî çàêëþ÷åíèÿ ÷àñòî ïîëàãàëè âîçìîæíûì ïðåäñòàâèòü íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ êðèâîé, êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, â êàæäîé òî÷êå èìååò êàñàòåëüíóþ.

 ïåðâîé ïîëîâèíå XVIII âåêà ïîíÿòèå ÷èñëà îïðåäåëÿëîñü ÷àùå âñåãî ïî Åâêëèäó: ÷èñëî åñòü ñîâîêóïíîñòü åäèíèö. Âî âòîðîé ïîëîâèíå XVIII âåêà ÷èñëî èñòîëêîâûâàåòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî êàê ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ îäíîé âåëè÷èíû äðóãîé âåëè÷èíîé òîãî æå ðîäà, ïðèíÿòîé çà åäèíèöó. Íî äàæå ïîñëåäíåå, çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêîå, èñòîëêîâàíèå ïîíÿòèÿ ÷èñëà íå îõâàòûâàëî âñå â òî âðåìÿ èçâåñòíûå âèäû ÷èñåë. Äîñòàòî÷íî âñïîìíèòü, ÷òî â XVII–XVIII âåêàõ ìàòåìàòèêè çíàëè è ñ óñïåõîì èñïîëüçîâàëè ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ïîýòîìó, íàðÿäó ñ ïîíÿòèåì ÷èñëà, ïðèáåãàëè ê ïðèáåãàëè ê ïîíÿòèÿì î ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ âåëè÷èíàõ, î ìíèìûõ âåëè÷èíàõ, î âåëè÷èíàõ ðåàëüíûõ è ëîæíûõ è ò. ï.

Àëãåáðà òðàêòîâàëàñü êàê íàóêà, èçó÷àþùàÿ òîëüêî îáùèå ñâîéñòâà îáû÷íûõ àðèôìåòè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí.

Ïîëàãàëè, ÷òî êàæäàÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ òåîðèÿ — òðèãîíîìåòðèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è ò. ï. — ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íàäñòðîéêîé íàä ãåîìåòðèåé Åâêëèäà è ïîýòîìó äîëæíà ñòðîèòüñÿ íà ôóíäàìåíòå ïîñëåäíåé.

Êîãäà îïèñàííûå âûøå èñòîëêîâàíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé, ïðèíöèïîâ è ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè ïîëó÷èëè äîñòàòî÷íî øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå, â ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèÿõ íà÷àëè îáíàðóæèâàòüñÿ ïàðàäîêñû; â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äàæå ïðèõîäèëè ê ëîæíûì çàêëþ÷åíèÿì, êîòîðûå, îäíàêî, ñ÷èòàëè èñòèííûìè.

Ïàðàäîêñû (è ëîæíûå çàêëþ÷åíèÿ) îáíàðóæèëèñü âïåðâûå â XVI–XVII âåêàõ â ó÷åíèè î ÷èñëå. Îíè ñîõðàíèëè ñâîþ ñèëó è â XVIII âåêå. Îñíîâîé èõ áûëî òî, ÷òî ïî÷òè äî êîíöà XVIII âåêà áîëüøèíñòâî ìàòåìàòèêîâ ïûòàëèñü ïîñòðîèòü ó÷åíèå î ÷èñëå (âïëîòü äî àðèôìåòèêè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë!) íà ôóíäàìåíòå, â ñâîå âðåìÿ ðàçðàáîòàííîì äëÿ àðèôìåòèêè êîëè÷åñòâåííûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Îáû÷íûå, âåðíûå äëÿ êîëè÷åñòâåí­íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, îïðåäåëåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñò­âèé è âñå ïÿòü çàêîíîâ ñ÷åòà çàðàíåå ïðè ýòîì ñ÷èòàëèñü ñïðàâåäëèâûìè â êàæäîé îáëàñòè ÷èñåë.  ñâÿçè ñ ýòèì íàõîäÿòñÿ õàðàêòåðíûå äëÿ âòîðîé ïîëîâèíû XVII è XVIII âåêà “äîêàçàòåëüñòâà” ïðàâèëà çíàêîâ (–a)(–b)=+ab; ñîìíåíèÿ â èñòèííîñòè ïðîïîðöèè +1: –1= –1: +1 (“êàê áîëüøåå, äåëåííîå íà ìåíüøåå, ìîæåò áûòü ðàâíî ìåíüøåìó, äåëåííîìó íà áîëüøåå?”); îòðèöàíèå îáúåêòèâíîñòè ïîíÿòèÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà è ò. ï.

Îäíàêî, äî íà÷àëà XIX âåêà òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå íå ìåøàëè óñïåøíîìó èñïîëüçîâàíèþ ïîíÿòèÿ ÷èñëà â ìàòåìàòèêå, òî÷íûõ íàóêàõ è òåõíèêå. Ýòî èìåëî îñíîâàíèåì òî, ÷òî â ëþáîé îáëàñòè ÷èñåë, îò íàòóðàëüíûõ äî êîìïëåêñíûõ, âñå ïÿòü çàêîíîâ ñ÷åòà âûïîëíÿþòñÿ. Êðîìå òîãî, â ýòîò ïåðèîä â ìàòåìàòèêå âåäóùåå ïîëîæåíèå ïðèíàäëåæàëî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ïîýòîìó âîïðîñû îáîñíîâàíèÿ ó÷åíèÿ î ÷èñëå õîòÿ è îáñóæäàëèñü àêòèâíî, íî â äåëå ðàçðàáîòêè îñíîâ ìàòåìàòèêè èãðàëè âòîðîñòåïåííóþ ðîëü.

Ó÷åíûå è ôèëîñîôû îáðàòèëè ñåðüåçíîå âíèìàíèå íà òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè ëèøü òîãäà, êîãäà Ëåéáíèö è Íüþòîí ðàçâèëè äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå.

Ëåéáíèö è åãî ïîñëåäîâàòåëè — áðàòüÿ Áåðíóëëè, Ëîïèíòàëü è äðóãèå — òðàêòîâàëè äèôôåðåíöèàëû êàê áåñêîíå÷íî ìàëûå ðàçíîñòè îáû÷íûõ êîíå÷íûõ âåëè÷èí, êàê òîãäà ãîâîðèëè — “ðåàëüíûõ” âåëè÷èí. Ïîýòîìó îíè îáðàùàëèñü ñ òåìè è äðóãèìè îäèíàêîâî è â èñ÷èñëåíèè ïðèìåíÿëè ê ïåðâûì òå æå ïðèåìû, êîòîðûå ñïðàâåäëèâû ïðè äåéñòâèÿõ ñî âòîðûìè. Âìåñòå ñ òåì âûÿñíèëîñü, ÷òî òàêèì îáðàçîì òðàêòóåìûì áåñêîíå÷íî ìàëûì ïðèñóùå ñâîéñòâî, ïðîòèâîðå÷àùåå îäíîìó îñíîâíîìó ñâîéñòâó îñíîâíûõ êîíå÷íûõ âåëè÷èí: åñëè À — êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà, à a — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ, òî, ÷òîáû ðåçóëüòàò èñ÷èñ­ëåíèÿ ïîëó÷àëñÿ ñîâåðøåííî òî÷íûì, îêàçàëîñü íåîáõîäèìûì ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî À+ a=À.