Три знаменитых задачи древности 6 страница

Íàêîíåö, â ñâÿçè ñî âñåì ýòèì âûÿñíèëîñü, ÷òî íå êàæäàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âìåñòå ñ òåì è äèôôåðåíöèðóåìîé. Ïåðâûé ïðèìåð íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, íå èìåþùåé ïðîèçâîäíîé â êàæäîé òî÷êå, äàë Áîëüöàíî, îäíàêî åãî ïðèìåð â ñâîå âðåìÿ îñòàëñÿ ìàòåìàòèêàì íåèçâåñòíûì.

Âî âòîðîé ïîëîâèíå XIX âåêà ïðèìåð òàêîãî ðîäà ôóíêöèè ïîñòðîèë Áåéåðøòðàññ. Ëîáà÷åâñêèé äàë òî÷íûå îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè è äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè è ïîä÷åðêíóë ðàçëè÷èÿ ìåæäó ýòèìè ïîíÿòèÿìè.

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà êëàññè÷åñêèé àíàëèç ñòàíîâèòñÿ íàóêîé î âñåõ âîçìîæíûõ âèäàõ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî â èõ îáùåì âèäå. Êîðåííîìó èçìåíåíèþ ïîäâåðãñÿ íå òîëüêî îáúåêò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà; ïðîèçîøëî êîðåííîå èçìåíåíèå è â ìåòîäàõ èçó÷åíèÿ ôóíêöèé.

Êàê óæå óêàçûâàëîñü, ðàçâèòèå ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà è ðàçðàáîòêà òåõíèêè åãî âû÷èñëåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî îïðåäåëåííûé èíòåãðàë (äâîéíîé, òðîéíîé èíòåãðàëû ïî ïîâåðõíîñòè, íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû) íåîáõîäèìî îáîñíîâûâàòü ñàìîñòîÿòåëüíî, íåçàâèñèìî îò ïîíÿòèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèê âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïðåäåëîâ èíòåãðàëüíûõ ñóìì, ñëàãàåìûå êîòîðûõ áûëè áû áåñêîíå÷íî ìàëûìè.  ïåðâîé ÷åòâåðòè XIX âåêà ïîíÿòèå áåñêîíå÷íî ìàëîé îêàçàëîñü íåîáõîäèìûì è äëÿ èçó÷åíèÿ è ñîïîñòàâëåíèÿ ñâîéñòâ íåïðåðûâíûõ è ðàçðûâíûõ ôóíêöèé. “Ìåæäó ìíîãèìè ïîíÿòèÿìè,— óêàçûâàë Êîøè,— òåñíî ñâÿçàííûìè ñî ñâîéñòâàìè áåñêîíå÷íî ìàëûõ, ñëåäóåò ïîìåñòèòü ïîíÿòèå î íåïðåðûâíîñòè è ïðåðûâíîñòè ôóíêöèé”. Òóò æå Êîøè äàåò èñòîëêîâàíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè, êîòîðîå áîëåå ÷åì ÿñíî ïîäòâåðæäàåò ÿñíîñòü ýòîãî åãî óòâåðæäåíèÿ.

Íîâàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷ îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÿñíî ïîêàçûâàëà, ÷òî äåëî íå òîëüêî â ïðèçíàíèè è ïðèìåíåíèè áåñêîíå÷íî ìàëûõ — ýòî äåëàëè è ðàíüøå!— íî ïðåæäå âñåãî â íàó÷íîì èñòîëêîâàíèè èõ ñîäåðæàíèÿ è îáîñíîâàííîì íà ýòîì èñïîëüçîâàíèè èõ â àëãîðèòìàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Îäíàêî, ÷òîáû ýòî ñäåëàòü íàäî áûëî ïðåîäîëåòü ãîñïîäñòâîâàâøåå â XVIII âåêå óçêîå òîëêîâàíèå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà, ðàçðàáîòàòü îáùóþ òåîðèþ ïðåäåëîâ. Ïîëó÷åíèå îñíîâîïîëàãàþùèõ ðåçóëüòàòîâ ñâÿçàíî çäåñü ñ èìåíåì Êîøè.

Èçó÷åíèå ðàçðûâíûõ ôóíêöèé è ñîïîñòàâëåíèå èõ ñ ôóíêöèÿìè íåïðåðûâíûìè çàñòàâèëî ïðèçíàòü òî, ÷òî ðàíåå ñ÷èòàëîñü íåâîçìîæíûì: ÷òî ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìèòüñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè, ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà â íåêîòîðîé òî÷êå ìîæåò îêàçàòüñÿ îòëè÷íûì îò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå. Çíà÷èò, ïðåäåë íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ “ïîñëåäíèì” çíà÷åíèåì ïåðåìåííîé, íî âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïðåäåë åñòü ÷èñëî, ê êîòîðîìó ïåðåìåííàÿ ïðèáëèæàåòñÿ íåîãðàíè÷åííî. Ñëåäîâàòåëüíî, dx è dy íå íåîáõîäèìî íóëè èëè ìèñòè÷åñêè àêòóàëüíî áåñêîíå÷íî ìàëûå; áåñêîíå÷íî ìàëàÿ — ýòî ïåðåìåííàÿ, èìåþùàÿ ïðåäåëîì íóëü, ïðè÷åì ôàêò ýòîò ñ ïðîòèâîðå÷èÿìè è ïàðàäîêñàìè íå ñâÿçàí.

Êîøè ïðåîäîëåë è âòîðóþ îãðàíè÷èòåëüíóþ òåíäåíöèþ â ïðèíÿòîé äî íåãî òðàêòîâêå ïîíÿòèÿ ïðåäåëà. Îí ïðèçíàë, ÷òî ïåðåìåííàÿ ìîæåò ïðèáëèæàòüñÿ ê ñâîåìó ïðåäåëó íå òîëüêî ìîíîòîííî, íî è êîëåáëÿñü, ïîðîé ïðèíèìàÿ çíà÷åíèÿ, ðàâíûå å¸ ïðåäåëó.

Êàê ñïðàâåäëèâî îòìåòèë Í. Í. Ëóçèí, ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèäàëî òåîðèè Êîøè íåîáõîäèìóþ îáùíîñòü è èñêëþ÷èòåëüíóþ ãèáêîñòü.

×òî ïîçâîëèëî Êîøè ñäåëàòü ýòî èñêëþ÷èòåëüíî âàæíûé øàã? Îòâåò, êîíå÷íî, íàäî èñêàòü ïðåæäå âñåãî â ñâîåîáðàçèè òåõ ïðåäåëüíûõ ïðîöåññîâ, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèëîñü âñòðå÷àòüñÿ â êîíöå XVIII è íà÷àëå XIX âåêà â òî÷íûõ íàóêàõ, îñîáåííî â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå.  ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ê ÷èñëó òàêèõ ïðîöåññîâ íàäî â ïåðâóþ î÷åðåäü îòíåñòè îòûñêàíèå ïðåäåëîâ ðàçëè÷íîãî âèäà èíòåãðàëüíûõ ñóìì è íàõîæäåíèå ñóìì ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, îñîáåííî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ.

Âûïîëíåííûå Êîøè îáîáùåíèÿ òåîðèè ïðåäåëîâ Íüþòîíà-Äàëàìáåðà ïîçâîëèëè åìó äàòü ïîíÿòèþ áåñêîíå÷íî ìàëîãî ðåàëüíîå èñòîëêîâàíèå è ïîäâåñòè ïîä àëãîðèòì Ëåéáíèöà-Íüþòîíà äîñòàòî÷íûé íàó÷íûé ôóíäàìåíò. Áëàãîäàðÿ ýòîìó Êîøè ñìîã ïîäâåñòè íàó÷íûé ôóíäàìåíò ïîä ó÷åíèå î íåïðåðûâíîñòè è ðàçðûâàõ ôóíêöèé, îáîñíîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå è, ÷òî îñîáåííî âàæíî, ðàçâèòü íà÷àëà íàó÷íîé êîíöåïöèè îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.

 ïðîöåññå òàêèõ èññëåäîâàíèé Áîëüöàíî, Êîøè, Ëîáà÷åâñêèé, Äèðèõëå, à âñëåä çà íèìè äðóãèå ïåðåäîâûå ìàòåìàòèêè ïåðâîé ïîëîâèíû XIX âåêà ïî-íîâîìó ïîäîøëè ê èñòîëêîâàíèþ ñòðîãîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ, â ïåðâóþ î÷åðåäü äîêàçàòåëüñòâ óòâåðæäåíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.

Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ (êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ïåðåìåííîé) îêàçàëèñü ñóùåñòâåííî íåîáõîäèìûìè è äëÿ îáîáùåííîé òåîðèè ïðåäåëîâ.

Åñëè ïåðåìåííàÿ èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî è ìîíîòîííî, òî ïðèíèìàåìîå åþ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé åñòü èíòåðâàë, à ïðåäåë — åãî ïðàâàÿ èëè ëåâàÿ òî÷êà. Êàê ãîâîðèë Í. Í. Ëóçèí, â ýòîì ñëó÷àå ïðåäåë ÿâëÿåòñÿ “îïòè÷åñêèì”: îí âèäåí ãëàçîì. Åñëè æå ñíÿòü ýòè îãðàíè÷åíèÿ, äîïóñòèòü ïðåðûâíîå è, ãëàâíîå, êîëåáëþùååñÿ ïðèáëèæåíèå ïåðåìåííîé ê å¸ ïðåäåëó, òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðåäåë òåðÿåòñÿ; îí “ãëóáîêî ñïðÿòàí ñðåäè çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ ïåðåìåííîé”.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ: ïðè âûïîëíåíèè êàêèõ óñëîâèé ïåðåìåííàÿ èìååò ïðåäåë? Èçâåñòíî, ÷òî è ýòîò âîïðîñ ïîëíîñòüþ ðåøèë Êîøè. Îí äîêàçàë, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü õ₁, õ₂,…, õ_ï,… èìååò ïðåäåë òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñÿêîãî ïîëîæèòåëüíîãî e, êàê óãîäíî ìàëîãî, ìîæíî íàéòè òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ï, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà ò