Три знаменитых задачи древности 2 страница

Èíà÷å ãîâîðÿ, â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïðèíöèïû è óòâåðæäåíèÿ “íèçøåé” ìàòåìàòèêè ìåòàôèçè÷åñêè àáñîëþòèçèðîâàëèñü, ðàññìàòðèâàëèñü êàê íåçûáëåìûé ôóíäàìåíò êàæäîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè.

 êîíöå XVII è îñîáåííî â ïåðâûõ òðåõ ÷åòâåðòÿõ XVIII âåêà îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû, óñòàíîâëåííûå â îäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ÷àñòî ïåðåíîñèëèñü â íîâûå îáëàñòè èññëåäîâàíèÿ, ñîâåðøåííî ôîðìàëüíî, ò. å. áåç îáîñíîâàíèÿ.

Çàêîíû àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ôîðìèðîâàëèñü áåç óêàçàíèÿ ïåðåìåííûõ, äëÿ êîòîðûõ îíè ñïðàâåäëèâû, è áåç óêàçàíèÿ ãðàíèö èõ ïðèìåíèìîñòè. Òàêàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, åñòåñòâåííî, ðàñïðîñòðàíÿëàñü è íà îñíîâûâàþùèåñÿ íà íèõ àëãîðèòìû.

Ê ñåðåäèíå XVIII âåêà îïèñàííàÿ òðàêòîâêà çàêîíîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è àëãåáðû ñòàëà íàñòîëüêî îáùåïðèíÿòîé, ÷òî Ë. Ýéëåð ñ÷åë âîçìîæíûì èñòîëêîâàòü å¸ êàê îñíîâíîé ïðèíöèï ìåòîäîëîãèè àíàëèçà âîîáùå. Ñëó÷èëîñü ýòî ïðè ñëåäóþùèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ.

 íà÷àëå XVIII âåêà ìåæäó Ëåéáíèöåì è È. Áåðíóëëè âîçíèê ñïîð î “ïðèðîäå” ëîãàðèôìîâ îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë. È. Áåðíóëëè ïîëàãàë, ÷òî ïðè õ>0, ln(–x)=ln x, òàê êàê .

Ëåéáíèö íå ñîãëàñèëñÿ ñ È. Áåðíóëëè; îí óòâåðæäàë, ÷òî îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ëîãàðèôìîâ, ïðè÷åì âñå îíè — ÷èñëà êîìïëåêñíûå. Ñðåäè äðóãèõ ñâîèõ àðãóìåíòîâ Ëåéáíèö óêàçàë, ÷òî ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ln x, óñòàíîâëåííîå äëÿ õ>0, íå îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâûì è äëÿ ln(–x).

Ïðè ïîìîùè îñîáîé àðãóìåíòàöèè Ë. Ýéëåð ðåøèë ñïîð â ïîëüçó Ëåéáíèöà. Îäíàêî óêàçàííûé àðãóìåíò Ëåéáíèöà Ýéëåð ðåøèòåëüíî îòêëîíèë. “Ýòî âîçðàæåíèå,— óêàçûâàë Ýéëåð,— åñëè áû îíî áûëî âåðíî, ïîêîëåáàëî áû îñíîâíîå ïîëîæåíèå âñåãî àíàëèçà, çàêëþ÷àþùååñÿ, â îñíîâíûõ ÷åðòàõ, â îáùíîñòè ïðàâèë è îïåðàöèé, ïðèçíàâàåìûõ ñïðàâåäëèâûìè, êàêîâà áû íè áûëà ïðèðîäà êîëè÷åñòâ, ê êîòîðûì îíè ïðèëàãàþòñÿ”.

Êàê ìû âèäèì, ïîäõîä ìàòåìàòèêîâ â XVIII âåêå ê âûÿñíåíèþ ãðàíèö ïðèëîæèìîñòè ìåòîäîâ ìàòåìàòèêè è òðàêòîâêà å¸ ïðèíöèïîâ áûëè ÿâíî ìåòàôèçè÷åñêèìè.

 XVIII âåêå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íåðåäêî ïðîâîäèëè, îïèðàÿñü íà ãîñïîäñòâîâàâøèå òîãäà ìåõàíè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ. Íà÷àëî øèðîêîìó èñïîëüçîâàíèþ ìåõàíè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé êàê áàçû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëîæèë Íüþòîí â ñâîåì ó÷åíèè î ôëþåíòàõ è ôëþêñèÿõ. ×òî æå êàñàåòñÿ óêàçàííîãî èñïîëüçîâàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, òî ïðîùå âñåãî âûÿñíèòü ñóòü äåëà íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå.

 íàøå âðåìÿ òåîðåìà î ïðîõîæäåíèè íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÷åðåç íóëåâîå çíà÷åíèå äîêàçûâàåòñÿ â êëàññè÷åñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ÷èñòî àíàëèòè÷åñêè ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîíÿòèÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà.  XVIII âåêå åñëè ýòà òåîðåìà è äîêàçûâàëàñü, òî ÷àùå âñåãî óêàçàíèåì íà òî, ÷òî íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ f(x), ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè À è Â, ðàñïîëîæåííûå â ïëîñêîñòè ïî ðàçíûå ñòîðîíû îñè ÎÕ, ñóùåñòâóåò ïî ìåíüøåé ìåðå îäíà òî÷êà ñ àáñöèññîé õ=ñ, a<c<b, äëÿ êîòîðîé f(ñ)=0 (ðèñ. 3).

Ðèñ. 3

Ïîäîáíîãî ðîäà ãåîìåòðèçàöèÿ íåðåäêî âñòðå÷àëàñü â ðóêîâîäñòâàõ ïî àëãåáðå è àðèôìåòèêå.

Íàïðèìåð, äîêàçàòåëüñòâî çàêîíà ïåðåìåñòèòåëüíîñòè ab=ba, ÿêîáû âåðíîãî äëÿ ëþáûõ ÷èñåë è âåëè÷èí, îáû÷íî ñâîäèëè íà äâà ðàâíûõ, íî ðàçëè÷íî ðàñïîëîæåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 4).

Ðèñ. 4

Ýéëåð è äðóãèå ìàòåìàòèêè XVIII âåêà çàäàâàëè ôóíêöèþ îäíèì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì è îò ýòîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ å¸ íå îòäåëÿëè. Ïðè ýòîì, ïîä àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîíèìàëîñü âûðàæåíèå, êîòîðîå ìîæíî ïîëó÷èòü, ñâÿçûâàÿ ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè (àëãåáðàè÷åñêèå è íåêîòîðûå òðàíñöåíäåíòàëüíûå, îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ) ïîñðåäñòâîì ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ, âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü è èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ, ðåøåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñ÷èòàëè, ÷òî çàäàíèå ôóíêöèè íà ëþáîì ïðîìåæóòêå îïðåäåëÿåò å¸ ïîâåäåíèå íà âñåé îñè ÎÕ. Ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿëàñü êðèâîé, ÷àñòè êîòîðîé çàâèñÿò äðóã îò äðóãà è êîòîðóþ ìîæíî çàäàòü îäíèì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì óêàçàííîãî âèäà. Òàêèå ôóíêöèè ñ÷èòàëè íåïðåðûâíûìè (â ñìûñëå Ýéëåðà), íàçûâàëèñü ïðàâèëüíûìè. Ïðåäñòàâëåííàÿ íà ÷åðòåæå (ðèñ. 5) íåïðåðûâíàÿ â ñîâðåìåííîì ñìûñëå ôóíêöèÿ ó=|õ| â ñìûñëå Ýéëåðà íå áûëà íåïðåðûâíîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè èñïîëüçîâàòü çàïàñ ôóíêöèé, ñ êàêèì ðàáîòàëè â XVIII âåêå, òî ýòà ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü çàäàíà äâóìÿ ôîðìóëàìè:

f(x)=x, 0 £x;

f(x)=–x, x £0.

Ðèñ. 5

Âìåñòå ñ äðóãèìè ìàòåìàòèêàìè XVIII âåêà Ýéëåð ñ÷èòàë, ÷òî òàêîå òîëêîâàíèå ôóíêöèè è å¸ íåïðåðûâíîñòè äîñòàòî÷íû äëÿ èíòåãðàëüíîãî è äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ è òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íî âîïðåêè èì îí ïîëàãàë âîçìîæíûì ðàññìàòðèâàòü â òåîðèè óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è ôóíêöèè, çàäàíèå êîòîðûõ íà îòðåçêå íå îïðåäåëÿåò èõ ïîâåäåíèÿ â öåëîì, ò. å. â åãî òåðìèíàõ ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. Ýéëåð òðàêòîâàë íåïðåðûâíîñòü òàêèõ ôóíêöèé â ñîâðåìåííîì ñìûñëå è íàçûâàë èõ ñâÿçíûìè. Ê òàêîìó ðàñøèðåíèþ ïîíÿòèÿ ôóíêöèè Ýéëåð ïðèøåë â ñâÿçè ñ àíàëèçîì ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé (ñâîèõ è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ) î êîëåáëþùèõñÿ ñòðóíàõ.