Три знаменитых задачи древности 10 страница

Êàíòîð îòìå÷àë, ÷òî êîíöåïöèÿ Êðîíåêåðà, â ñðàâíåíèè ñ îáùåïðèçíàííûìè òåîðèÿìè ÷èñòîé ìàòåìàòèêè, îáëàäàåò íåêîòîðûìè ïðåèìóùåñòâàìè. Åñëè ñòðîãî ïðèäåðæèâàòüñÿ êîíöåïöèè Êðîíåêåðà, òî “âîçìîæíî ïîòðåáîâàòü”, ÷òîáû äîêàçàòåëüñòâà àíàëèòè÷åñêèõ òåîðåì áûëè èñïûòàíû ïî ñâîåìó “òåîðåòèêî-÷èñëîâîìó ñîäåðæàíèþ” è ÷òîáû êàæäûé îáíàðóæèâàþùèéñÿ â íèõ ïðîáåë áûë çàïîëíåí ñîãëàñíî ïðèíöèïàì àðèôìåòèêè.  âîçìîæíîñòè ïîäîáíîãî äîïîëíåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ íàñòîÿùèé ïðîáíûé êàìåíü äëÿ ïðàâèëüíîñòè è ïîëíîé ñòðîãîñòè äîêàçàòåëüñòâ. Òàêèå äîïîëíåíèÿ ñïîñîáíû ïðåäîõðàíèòü èññëåäîâàòåëåé îò îøèáîê è óäåðæàòü ïîëåò èõ òâîð÷åñêîé ôàíòàçèè â íàäëåæàùèõ ãðàíèöàõ. Îäíàêî, ïîä÷åðêèâàë Êàíòîð, ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðèíöèïû êîíöåïöèè Êðîíåêåðà íå ÿâëÿþòñÿ ïëîäîòâîðíûìè. “Ìû íå îáÿçàíû èì íèêàêèìè èñòèííûìè óñïåõàìè è, åñëè áû ìû â äåéñòâèòåëüíîñòè òî÷íî ðóêîâîäñòâîâàëèñü èìè, òî ðàçâèòèå íàóêè îñòàíîâèëîñü áû èëè áûëî ââåäåíî â ñàìûå óçêèå ãðàíèöû.” Âïðî÷åì, çàìåòèë Êàíòîð, îêîí÷àòåëüíîå ñóæäåíèå î êîíöåïöèè Êðîíåêåðà ñòàíåò âîçìîæíûì ëèøü òîãäà, êîãäà îíà áóäåò ðàçðàáîòàíà â öåëîì è â äåòàëÿõ, â ñâÿçè ñ ÷åì âûÿñíèòñÿ å¸ îòíîøåíèå ê ãåîìåòðèè è ìåõàíèêå. Ïîêà ýòîãî åù¸ íåò, ïðèãîäíîñòü êîíöåïöèè Êðîíåêåðà íå ìîæåò áûòü íàçâàíà äîñòàòî÷íî îáîñíîâàííîé.

Êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ Êàíòîðà â àäðåñ êîíöåïöèè Êðîíåêåðà èìåþò ìåòîäîëîãè÷åñêèì ñòåðæíåì åãî òðåòüå “îãðàíè÷èòåëüíîå òðåáîâàíèå”. Îíè âåðíû è íå ïîòåðÿëè ñâîåãî çíà÷åíèÿ äî íàøåãî âðåìåíè. Íî âðÿä ëè ìîæíî íàçâàòü ïðàâèëüíûì ñëåäóþùèå êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ Êàíòîðà, êîòîðûå îí, ïî-âèäèìîìó, ñ÷èòàë íàèáîëåå ñåðüåçíûìè: ìîùíîñòü êîíòèíóóìà âûøå ìîùíîñòè ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ñëåäîâàòåëüíî, çàïàñ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íåäîñòàòî÷åí äëÿ îïèñàíèÿ òî÷åê âðåìåííîãî è ïðîñòðàíñòâåííîãî êîíòèíóóìà, ïîýòîìó êîíöåïöèÿ Êðîíåêåðà íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ñîâåðøåííîé. Ýòà àðãóìåíòàöèÿ êàíòîðà îáëàäàåò äîêàçàòåëüíîé ñèëîé ëèøü äëÿ ïðèâåðæåíöåâ ó÷åíèÿ î ñ÷åòíûõ è íåñ÷åòíûõ ìíîæåñòâàõ; åãî ïðîòèâíèêè ñ÷èòàòüñÿ ñ ýòîé àðãóìåíòàöèåé Êàíòîðà íå îáÿçàíû.

Èäåè Êðîíåêåðà â íåêîòîðîé ìåðå ñïîñîáñòâîâàëè ñíà÷àëà îôîðìëåíèþ êîíöåïöèè èíòóèöèîíèçìà, à ïîòîì è êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè.

Äî ïîñëåäíåãî äåñÿòèëåòèÿ XIX âåêà ìàòåìàòèêè, ëîãèêè è ôèëîñîôû ïðèçíàâàëè ïîíÿòèÿ èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà, íî îòðèöàëè ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè; îíè ñ÷èòàëè åãî âíóòðåííå ïðîòèâîðå÷èâûì. Íåêîòîðûå èç íèõ ïûòàëèñü ýòî äîêàçàòü. Êàíòîð èçó÷èë ìåòîäîëîãè÷åñêóþ îñíîâó òàêèõ äîêàçàòåëüñòâ è ïîêàçàë èõ ïîëíóþ íåñîñòîÿòåëüíîñòü.

“Âñå òàê íàçûâàåìûå äîêàçàòåëüñòâà ïðîòèâ âîçìîæíîñòè àêòóàëüíî áåñêîíå÷íûõ ÷èñåë,— ïèñàë Êàíòîð,— îøèáî÷íû, ïîòîìó, ÷òî îíè çàðàíåå ïðèïèñûâàþò èëè, ñêîðåå, íàâÿçûâàþò ðàññìàòðèâàåìûì ÷èñëàì âñå ñâîéñòâà êîíå÷íûõ ÷èñåë. Ìåæäó òåì, áåñêîíå÷íûå ÷èñëà — åñëè òîëüêî èõ äîëæíî ìûñëèòü â êàêîé-íèáóäü ôîðìå — äîëæíû îáðàçîâàòü áëàãîäàðÿ ñâîåé ïðîòèâîïîëîæíîñòè ê êîíå÷íûì ÷èñëàì ñîâåðøåííî íîâûé ÷èñëîâîé âèä, ñâîéñòâà êîòîðîãî âïîëíå çàâèñÿò îò ïðèðîäû âåùåé è îáðàçóþò ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ, à íå íàøåãî ïðîèçâîëà èëè íàøèõ ïðåäðàññóäêîâ.”

Çàêëþ÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ïðèâåäåííîãî âûñêàçûâàíèÿ Êàíòîðà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé ñóùåñòâà ìåòîäîëîãèè åãî íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé. Îíà ïîêàçûâàåò, ÷òî èçáðàííûé Êàíòîðîì ïóòü îáîñíîâàíèÿ íàó÷íîé ñàìîñòîÿòåëüíîñòè ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè, ìàòåðèàëèñòè÷åñêèì; îí ìîæåò áûòü ñîãëàñîâàí ñ èäåàëèçìîì (ñóáúåêòèâíûì èëè îáúåêòèâíûì — áåçðàçëè÷íî) òîëüêî íà ñëîâàõ, à íà äåëå ïðîòèâîðå÷èò åìó. Ñòðåìëåíèå Êàíòîðà îáîñíîâàòü ñ ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé âîçìîæíîñòü òàêîé ñîãëàñîâàííîñòè è îáóñëîâèëî äâîéñòâåííîñòü åãî ôèëîñîôñêèõ ïîçèöèé â ïîíèìàíèè ïðèðîäû ìàòåìàòèêè è å¸ ìåòîäîâ.

3. Парадоксы (антиномии)
теории множеств

Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå òðóäíîñòÿìè ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ â íåé áûëè îáíàðóæåíû ïàðàäîêñû (àíòèíîìèè) ïîñòàâèâøèå ïîä ñîìíåíèå ó÷åíèå Ã. Êàíòîðà â öåëîì. Ýòè ïàðàäîêñû ñòàëè îáúåêòîì îñîáîãî âíèìàíèÿ ìàòåìàòèêîâ. È, êîíå÷íî, íå ñëó÷àéíî. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, åù¸ ïðè æèçíè Êàíòîðà åãî òåîðèÿ ìíîæåñòâ ñòàëà ôóíäàìåíòîì âñåãî çäàíèÿ ìàòåìàòèêè, à å¸ ìåòîäû — äåéñòâåííûì îðóäèåì ðàçâèòèÿ ìíîãèõ âåäóùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé.

Ïåðâûé ïàðàäîêñ îáíàðóæèë ñàì Êàíòîð â 1895 ãîäó è ñîîáùèë î íåì â ïèñüìå ê Ãèëüáåðòó. ÷åðåç äâà ãîäà ýòîò ïàðàäîêñ îáíàðóæèë Áóðàëè-Ôîðòè; îí ñäåëàë åãî äîñòîÿíèåì âñåõ ìàòåìàòèêîâ.

Парадокс Бурали-Форти.

Ïóñòü Ð — ìíîæåñòâî âñåõ ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë. Ýòî ìíîæåñòâî âïîëíå óïîðÿäî÷åíî; ñëåäîâàòåëüíî, îíî îïðåäåëÿåò íåêîòîðîå îðäèíàðíîå òðàíñôèíèòíîå ÷èñëî ð. Åñëè Ð_ð — ìíîæåñòâî ïîðÿäêîâûõ ÷èñåë ìåíüøå ð, òî Ð_ð èìååò òîò æå ïîðÿäêîâûé òèï, ÷òî è Ð. Íî Ð_ð — îòðåçîê ìíîæåñòâà Ð, îïðåäåëÿåìûé ÷èñëîì ð. Ñëåäîâàòåëüíî Ð è åãî îòðåçîê Ð_ð ïîäîáíû äðóã äðóãó. Íî Êàíòîð äîêàçàë, ÷òî âïîëíå óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî íå ìîæåò áûòü ïîäîáíî ëþáîìó ñâîåìó îòðåçêó.

 1899 ãîäó Êàíòîð îòêðûë åù¸ îäèí ïàðàäîêñ è ñîîáùèë î íåì Ð. Äåäåêèíäó.  1901 ãîäó ýòîò ïàðàäîêñ ïðèâëåê âíèìàíèå Á. Ðàññåëà.