Три знаменитых задачи древности 12 страница

Óòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ìíîæåñòâà Ð ïîíèìàëîñü, êîíå÷íî, â ñìûñëå Êàíòîðà.

Îïèðàÿñü íà ýòó àêñèîìó Öåðìåëî äîêàçàë, ÷òî âñÿêîå ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ôîðìå âïîëíå óïîðÿäî÷åííîãî ìíîæåñòâà, ò. å., ÷òî ìîùíîñòü ëþáîãî ìíîæåñòâà åñòü àëåîð. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, ýòîò ôàêò îáåñïå÷èâàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ àðèôìåòèêè êàðäèíàëüíûõ òðàíñôèíèòíûõ ÷èñåë ïî÷òè âî âñåé îáùíîñòè. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî àêñèîìà Öåðìåëî ïîçâîëÿåò ðåøèòü â óòâåðäèòåëüíîì ñìûñëå ïðîáëåìó òðèõîòîìèè è äàåò îáîñíîâàíèå òðàíñôèíèòíîé èíäóêöèè. Òîëüêî ãèïîòåçà êîíòèíóóìà îñòàâàëàñü ïî ïðåæíåìó çàãàäêîé. Öåðìåëî ìîã óòâåðæäàòü, ÷òî ìîùíîñòü êîíòèíóóìà åñòü àëåîð, íî êàêîå ìåñòî íà øêàëå àëåîðîâ çàíèìàåò Ñ — ýòî îñòàâàëîñü íåèçâåñòíûì. Ê ýòîìó ìîæíî òîëüêî ïðèáàâèòü, ÷òî äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè äðóã äðóãó íåêîòîðûõ ôîðì ãèïîòåçû êîíòèíóóìà òàêæå îïèðàþòñÿ íà àêñèîìó Öåðìåëî.

Áîëåå äåñÿòè ëåò ñ ìîìåíòà îïóáëèêîâàíèÿ ìåìóàðîâ Öåðìåëî ïðèëîæåíèÿ àêñèîìû âûáîðà îãðàíè÷èâàëèñü îáëàñòüþ òåîðèè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî. Êðîìå óêàçàííûõ, ìîæíî, íàïðèìåð, óïîìÿíóòü ïðèëîæåíèÿ ýòîé àêñèîìû â òåîðèè òî÷å÷íûõ ìíîæåñòâ è, â ÷àñòíîñòè, â òåîðèè èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ.

 20-õ è 30-õ ãîäàõ ÕÕ âåêà ïîëå ïðèëîæåíèÿ àêñèîìû Öåðìåëî çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèëîñü. Ìîæíî, íàïðèìåð, óêàçàòü íà èññëåäîâàíèÿ Áèðêãîôà ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, â êîòîðûõ îí ïðèìåíÿë òðàíñôèíèòíóþ èíäóêöèþ. Îñîáåííî âàæíî óêàçàòü íà òåîðèþ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, êîòîðóþ Æ. Àäàìàð â íà÷àëå 30-õ ãîäîâ íàçûâàë íàèáîëåå ñèëüíûì ìåòîäîì èññëåäîâàíèÿ ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ðàçâèâàåòñÿ íà áàçå îáùåãî ó÷åíèÿ î ìíîæåñòâàõ è ïîëüçóåòñÿ àêñèîìîé Öåðìåëî äëÿ óñòàíîâëåíèÿ íåêîòîðûõ âàæíåéøèõ ñâîèõ ïðåäëîæåíèé. Øèðîêîå ïîëå äëÿ ïðèìåíåíèÿ àêñèîìû Öåðìåëî äàëè àëãåáðà è òîïîëîãèÿ.

Ñâîåîáðàçèå àêñèîìû Öåðìåëî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà íå òîëüêî ÿâëÿåòñÿ îðóäèåì îòûñêàíèÿ íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêòîâ è ïðèäàåò èçâåñòíóþ îáùíîñòü ó÷åíèþ î ìíîæåñòâàõ, íî è óñóãóáëÿåò òðóäíîñòè îáîñíîâàíèÿ ìàòåìàòèêè.

Îäíà èç òðóäíîñòåé ñîñòîèò â òîì, ÷òî, ðàññìàòðèâàÿ âïîëíå îïðåäåëåííûå (â ñìûñëå Êàíòîðà) ìíîæåñòâà, ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ìîæíî äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ìíîæåñòâ, íåîïðåäåëèìûõ â ñìûñëå Êàíòîðà. Âîò ïðèìåð.

Ðàññìîòðèì âñå ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî õ, îïðåäåëåííûå íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíûå íà ýòîì ñåãìåíòå òîæäåñòâåííî íóëþ. Ðàçäåëèì ýòè ôóíêöèè íà ïàðû, îòíîñÿ â îäíó ïàðó òàêèå äâå ôóíêöèè, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì, ò. å. ôóíêöèè f(x)ï–f(x). Ïî àêñèîìå Öåðìåëî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî Ð, âêëþ÷àþùåå ïî îäíîé è òîëüêî îäíîé ôóíêöèè êàæäîé ïàðû. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî àêñèîìå Öåðìåëî, ìîæíî óòâåðæäàòü ñóùåñòâîâàíèå Ð ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî õ, îïðåäåëÿåìûõ íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíûõ íà ýòîì ñåãìåíòå òîæäåñòâåííî íóëþ, òàêîãî, ÷òî

à) êàêîâû áû íè áûëè ôóíêöèè f₁ è f₂ ìíîæåñòâà Ð, âñåãäà ;

á) êàêîâà áû íè áûëà ôóíêöèÿ j(õ), îïðåäåëåííàÿ íà ñåãìåíòå [0, 1] è íå ðàâíàÿ íà íåì òîæäåñòâåííî íóëþ, ñóùåñòâóåò îäíà è òîëüêî îäíà ôóíêöèÿ f ìíîæåñòâà Ð, òàêàÿ, ÷òî ëèáî f+ j=0, ëèáî f– j=0 äëÿ ëþáîãî õ, .

Îäíàêî ìíîæåñòâî Ð íå îïðåäåëåíî â ñìûñëå Êàíòîðà, òàê êàê ìû íå ìîæåì ñêàçàòü î ëþáîé ôóíêöèè j(õ), ïîä÷èíÿþùåéñÿ âûñòàâëåííûì óñëîâèÿì, ïðèíàäëåæèò ëè îíà Ð èëè íå ïðèíàäëåæèò.

Äðóãàÿ òðóäíîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñ ïîìîùüþ àêñèîìû Öåðìåëî ÷àñòî âîçìîæíî îïðåäåëèòü êëàññ ìíîæåñòâ, â òî âðåìÿ êàê íè îäíîãî îáúåêòà èç ýòîãî êëàññà îïðåäåëèòü (ðàçëè÷èòü) íå óäàåòñÿ. Íàïðèìåð, ñîãëàñíî àêñèîìå Öåðìåëî ñóùåñòâóåò êëàññ íåèçìåðèìûõ ìíîæåñòâ. Îäíàêî äî ñèõ ïîð íèêòî íå ñìîã ïîñòðîèòü (äàòü) èíäèâèäóàëüíîãî ïðèìåðà íåèçìåðèìîãî ìíîæåñòâà.