Три знаменитых задачи древности 11 страница

Парадокс Кантора.

Ïóñòü N — ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ìíîæåñòâ, S —ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà N. Ïîñêîëüêó ìîùíîñòü ìíîæåñòâà âñåõ âîçìîæíûõ ïîäìíîæåñòâ ëþáîãî ìíîæåñòâà èìååò ìîùíîñòü, áîëüøóþ ìîùíîñòè ýòîãî ìíîæåñòâà, òî ìîùíîñòü S äîëæíà áûòü áîëüøå ìîùíîñòè N. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìíîæåñòâî N åñòü ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ìíîæåñòâ; ñëåäîâàòåëüíî S ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì N. Íî ìîùíîñòü ïîäìíîæåñòâà íå áîëüøå ìîùíîñòè ìíîæåñòâà; çíà÷èò ìîùíîñòü S íå áîëüøå ìîùíîñòè N.

Íàèáîëüøóþ èçâåñòíîñòü ïðèîáðåë ïàðàäîêñ, îòêðûòûé Á. Ðàññåëîì â 1902 ãîäó è îïóáëèêîâàííûé èì â 1903 ãîäó. Ýòîò ïàðàäîêñ îòêðûë è Ý. Öåðìåëî, íî â ïå÷àòè åãî íå îïóáëèêîâàë.

Парадокс Рассела.

Î íåêîòîðûõ ìíîæåñòâàõ ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îíè ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîåãî ýëåìåíòà; òàêîâî, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ. Ðàñïðåäåëèì âñå âîçìîæíûå ìíîæåñòâà íà äâà êëàññà. Ê ïåðâûì îòíåñåì òå ìíîæåñòâà, êîòîðûå íå ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîèõ ýëåìåíòîâ. Êî âòîðîìó îòíåñåì âñå îñòàëüíûå, ò. å. êîòîðûå ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîèõ ýëåìåíòîâ. Ðàññìîòðèì ïåðâûé êëàññ ìíîæåñòâ. Ýòîò êëàññ ìíîæåñòâ â ñâîþ î÷åðåäü ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ìíîæåñòâîì N, à ïîòîìó ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó èëè êî âòîðîìó êëàññó.

Äîïóñòèì, ÷òî ìíîæåñòâî N ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó êëàññó. Ïåðâûé êëàññ — ýòî êëàññ ìíîæåñòâ, êàæäîå èç êîòîðûõ íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Íî åñëè N ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó êëàññó, òî òàê êàê ìíîæåñòâî N åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ìíîæåñòâ ïåðâîãî êëàññà, îíî äîëæíî ñîäåðæàòü è ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Èòàê, åñëè ìíîæåñòâî N íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà, òî îíî ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà, ñëåäîâàòåëüíî íåëüçÿ ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìíîæåñòâî N ïðèíàäëåæèò ê ïåðâîìó êëàññó.

Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ìíîæåñòâî N ïðèíàäëåæèò êî âòîðîìó êëàññó, ò. å. ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Íî ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà N ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ìíîæåñòâà, íå ñîäåðæàùèå ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè N ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà, òî N íå ñîäåðæèò ñåáÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà. Ìû îïÿòü ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ è âûíóæäåíû ïðèçíàòü, ÷òî ìíîæåñòâî N íå ìîæåò íè ïðèíàäëåæàòü, íè íå ïðèíàäëåæàòü ê ïåðâîìó êëàññó.

 íàøå âðåìÿ èçâåñòíû è äðóãèå ïàðàäîêñû.

4. Аксиоматические построения
теории множеств по Цермело

Ñ íà÷àëà XX âåêà è äî íàøèõ äíåé íå ïðåêðàùàþòñÿ ïîïûòêè ïðåîäîëåòü òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì è ïàðàäîêñàìè òåîðèè ìíîæåñòâ. Óñòàíîâëåííûå â ýòîì íàïðàâëåíèè ðåçóëüòàòû íå ïîëó÷èëè, îäíàêî, âñåîáùåãî ïðèçíàíèÿ. Åñëè è ìîæíî ãîâîðèòü î öåííûõ ðåçóëüòàòàõ, çäåñü íàéäåííûõ, òî â ïåðâóþ î÷åðåäü â ñâÿçè ñ ðàçëè÷íûìè âàðèàíòàìè àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ.

Âïåðâûå àêñèîìàòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå òåîðèè ìíîæåñòâ îñóùåñòâèë Ý. Öåðìåëî â 1908 ãîäó. Âïîñëåäñòâèè àêñèîíîìàòèêà Öåðìåëî áûëà äîïîëíåíà è âèäîèçìåíåíà â ðàáîòàõ À. Ôðåíêåëÿ (1922, 1925), Ò. Ñêîëåìà (1922-1923, 1929), Äæ. Íåéìàíà (1925, 1928), Ï. Áåðíàéñà (1937-1954) è äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ. Òàê, Ôðåíêåëü äîïîëíèë àêñèîíîìàòèêó Öåðìåëî îäíîé àêñèîìîé, ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èëàñü íîâàÿ ñèñòåìà àêñèîì — å¸ íàçâàëè ñèñòåìîé Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ — áîëåå ñèëüíàÿ, ÷åì èñõîäíàÿ ñèñòåìà àêñèîì Öåðìåëî.  îòëè÷èå îò ñèñòåìû Öåðìåëî, îáîçíà÷àåìîé îáû÷íî áóêâîé Z, ñèñòåìó Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ îáîçíà÷àþò äâóìÿ áóêâàìè: ZF. Ñ ïîìîùüþ ZF ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ, íå äîêàçóåìûõ ñ ïîìîùüþ Z.

Öåðìåëî ñôîðìóëèðîâàë ñèñòåìó àêñèîì, â êîòîðîé îïèñàë íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ. Îñòàëüíûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ, óñòàíîâëåííûå â òåîðèè ìíîæåñòâ Êàíòîðà, Öåðìåëî ïûòàëñÿ âûâåñòè èç ñâîèõ àêñèîì.

Îñíîâíîé çàìûñåë Öåðìåëî ñîñòîÿë â òîì, ÷òîáû îãðàíè÷èòü îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ àêñèîíîìàòèêè Z òîëüêî òàêèìè ìíîæåñòâàìè, ðàññìîòðåíèå êîòîðûõ íå ïðèâîäèò ê ïàðàäîêñàì. Âïîñëåäñòâèè, ïðè ðàçðàáîòêå íîâûõ âàðèàíòîâ àêñèîíîìàòèêè òåîðèè ìíîæåñòâ, ýòà îãðàíè÷èòåëüíàÿ òåíäåíöèÿ ïîëó÷èëà âñåîáùåå ïðèçíàíèå. Ïîçâîëèòåëüíî, îäíàêî, äóìàòü, ÷òî â îäíîì ñóùåñòâåííîì ïóíêòå îíà íå îòâå÷àåò îñíîâíûì óñòàíîâêàì è çàìûñëó ñàìîãî Ã. Êàíòîðà. Êàíòîð ñòðåìèëñÿ ðàçâèòü òåîðèþ ìíîæåñòâ âî âñåé îáùíîñòè, êàê òåîðèþ, îòíîñÿùóþñÿ ê ëþáûì ìíîæåñòâàì; íàçâàííàÿ îãðàíè÷èòåëüíàÿ òåíäåíöèÿ áûëà äëÿ íåãî ñîâåðøåííî ÷óæäîé.

Åñëè ïðèíÿòü ñèñòåìó Z, òî â íåêîòîðûõ ñóùåñòâåííûõ ïóíêòàõ òåîðèÿ ìíîæåñòâ Êàíòîðà ïîëó÷èò äîñòàòî÷íîå îáîñíîâàíèå. Îáóñëîâëèâàåòñÿ ýòî ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè.  ñèñòåìå Öåðìåëî èìååòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ àêñèîìà âûáîðà (ðàíüøå å¸ îáû÷íî íàçûâàëè ïðîñòî àêñèîìîé Öåðìåëî: â äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì íàçûâàòü å¸ èìåííî òàê):

Åñëè äàíî ìíîæåñòâî Ì, ñîñòîÿùåå èç ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è áåç îáùèõ ýëåìåíòîâ, òî èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N ìîæíî âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó; ñîâîêóïíîñòü âûáðàííûõ ýëåìåíòîâ îáðàçóåò íîâîå ìíîæåñòâî Ð.

Âïîñëåäñòâèè îðòîäîêñàëüíûå ïîñëåäîâàòåëè Ã. Êàíòîðà íåðåäêî èçìåíÿëè ôîðìóëèðîâêó àêñèîìû Öåðìåëî òàê, ÷òî îíà ñòàíîâèëàñü óòâåðæäåíèåì ñóùåñòâîâàíèÿ: Äëÿ êàæäîãî ìíîæåñòâà Ì ìíîæåñòâ N, íå ïóñòûõ è íå èìåþùèõ îáùèõ ýëåìåíòîâ, ñóùåñòâóåò (ïî êðàéíåé ìåðå îäíî) ìíîæåñòâî Ð, ñîäåðæàùåå ïî îäíîìó è òîëüêî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî ìíîæåñòâà N.