Аксиома коммутативной группы с операцией сложения. Кольцо. Поле.

Ассоциативный группоид G , обладающий нейтральным элементом, называется группой, если для всякого элемента  существует обратный элемент g ^-1 .

Если операция коммутативна, то группа называется Абелевой. Аксиомы коммутативной группы с операцией сложения.   1) а+ b =с 2) На мн-ве М определена операция 3) Операция коммутативна а+в=в+а. Коммутативны сложение и умножение чисел и множеств 4) Операция ассоциативна а+(в+с) = (а+в)+с. Ассоциативны сложение и умножение чисел. 5) Операция имеет нейтральный элемент 0: а+0=0+а = а (для сложения). При умножении у=1. 6) Для всякого элемента а существует обратный элемент -а, такой, что а +(-а) =о

 Пример группы: операция сложение на множестве натуральных чисел, множество поворотов плоскости вокруг фиксированоой точки, классы вычетов по mod m для операции сложение, шде лля каждого элемента есть обратный.

 Теорема: Для коммутативной группы по сложению всегда определена обратная операцию вычитания: в-а =в+(-а)
Кольцо- это множество R с двумя операциями, одна из которых называется сложением, а другая умножением. При этом должны выполняться два условия : 1)R по сложению является абелевой группой 2) сложение и умножение связаны законами дистрибутивности.(b+c)*a= a*b+a*c

Система аксиом кольца: 1) На R определена операция сложения 2) сложение коммутативно а+в=в+а. Коммутативны сложение и умножение чисел и множеств 3) сложение ассоциативно а+(в+с) = (а+в)+с. Ассоциативны сложение и умножение чисел. 4) Операция имеет нейтральный элемент 0: а+0=0+а = а (для сложения). 5) Для всякого элемента а существует обратный элемент -а, такой, что а +(-а) =о

6)На R определена операция умножения 7) выполняются законы дистрибутивности а(в+с)=ав+ас; (в+с)а=ва+вс

Пример кольца: мн-во целых чисел, мн-во классов вычетов по mod m, где для каждого элемента есть обратный.

  Теорема1. Поглощающее свойство нуля. При умножении любого элемента кольца на 0 в результате получается нуль.

Доказательство:1) b=b+0, где в – любой элемент 2) a*b=a*(b+0)- домножим обе часит на а

3) a*b=ab+a0=ав – раскроем скобки по дистрибутивности 5) для ав существует обратный элемент (-ab):(-ab)+(ab+а0)=(-ab)+(аb)+а0=0; [(-ab)+(ab)]=[(-ab)+(ab)]+a0,те 0=а0, чтд

 Отсюда правило на нуль делить нельзя.

Делители нуля – такие в и в - элементы кольца, что ав=о, но а ≠ 0 и в ≠ 0. Пример: класс вычетов по mod 6.

Свойства коммутативной группы с операцией сложение: 1) -(-а)=а 2) каждое уравнение а+х=в имеет единственное решение в+(-а) 3) если а+в=а+с, значит в=с.

Поле -кольцо, в котором 1) умножение коммутативно 2) умножение ассоциативно 3) нейтральный элемент по умножению е=1 4)для всякого а≠0 существует обратный элемент a^-1 такой, что aa^-1=a^-1a=e . В поле можно определены: сложение, вычитание, умножение, деление, кроме деления на 0 

Пример поля – множество рациональных чисел m/n , где m,n – целые числа,n≠0; множество классов вычетов по mod5; поле действительных чисел.

Комплексные числа и алгебраические операции с ними. Тригонометрическая форма комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня.

Комплексным числом называется выражение a+b_i, где a и b- действительные числа, а символ i удовлетворяет условию i²=-1. В поле комплексных чисел нейтральным элементом для сложенмя явл 0: a+0·i=a, 0+b·i=b·i,           

0+0·i=0; для умножения 1. Для числа (a+b_i,)≠0 обратным явл 1/a+b_i,

Комплексные числа a+b_i и c+d_i равны, если: a=c и b=d. В поле комплексных чисил нет понятия порядка, поэтому числа вида z₁=a+b_i, z₂=c=d_i несравнимы.

Теорема. В поле комплексных чисел уравнение n-ой степени имеет n корней.

Алгебраические операции с комплексными числами вида z₁=a+b_i, z₂=c=d_i

1. Сложение : z₁+z₂=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

2. Вычитание : z₁-z₂=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

3. Умножение : Z₁·z₂=(a+bi) ·(c+di)=ac+bci+adi+bdi²=(ac-bd)+(bc+ad)i

4. Деление (z₂ ≠ 0) z₁ ⁄z₂=a+bi ⁄c+di= (a+bi)(c+di) ⁄(c+di)(c+di)=ac+bci-adi-bdi² ⁄c²-d²i²=(ac+bd)+(bc-ad)i ⁄c²+d²

Геометрическая интерпрет. комплексн числа: компл число изобр вектором, идущим из точки (0,0) в точку (a,b). |Z| - длина вектора. ‌ z ‌=√ a ² + b ² . Угол γ м-ду вектором и положительным направлением оx - аргумент числа z. sin γ = b /√ a ² + b ² ;   cos γ = a /√ a ² + b ² .

 z =| r |( cos γ + isin γ )- тригонометрическая форма комплексного числа.

Теорема1:При перемножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. z₁·z₂=r₁·r₂(cos(γ₁+ γ₂)+I sin(γ₁+ γ₂)). Длина нового вектора=сумме длин исходных, угол наклона к ох-поворот на суммарное число градусов, отсчитываемое от положительного направления ох.

Формула Муавра: Zⁿ = rⁿ ( cos nγ + isin nγ ) – ф-ла для n -ой степени комплексного числа.

Формула для извлечения корня из комплексного числа: W_k = ⁿ √ z = ⁿ √ r ( cos ( γ +2 πk / n )+ isin ( γ +2 πk / n ))

Формула Эйлера: e^ix = cosx + isinx

Бесконечно малые последовательности. Теорема о произведении бесконечно малой на oграниченная последовательность и о сумме 2 бесконечно малых. Бесконечно большие последовательности; их связь с бесконечно малыми.

Последов. а_n называется ограниченной, если существует такое положительное число М , что для всех членов последовательности выполняется нер-во | а_n | ≤ М.

Последовательность а₁ а₂ ….а _n называется бесконечно малой, если для любого положительного числа Е существует такой номер N, после которого все члены последовательности по абсолютной величине <Е. ( Для всякого Е>0 сущ N ,что для люб n [ n>N→|a|<Е] ) .

Пример: a_n=(-1)ⁿ/n² -1; ¼; -1/9; 1/16… |a_n|=1, ¼, 1/9, 1/16, 1/25... Е=1/100, N-? N=10 =>n>10, то |a_n |< 1/100