Предел функции. Предел отношения синуса бесконечно малого угла к этому углу. Число е. Понятие о натуральных логарифмах.

Предел функции: Рассмотрим непрерывную функцию f(x). A – значения функции; f(x) приближаются к А, когда значения аргумента ( x ) приближаются к a. [f(x)→A при x→a]. Если (х-а)→0, то ( f(x) – A)→0 Т.к х→0, значит х-бесконечно малое. Если |x-a|<Δ, | f(x)-A|<E

Пусть х→а, но х≠а. Если х=а, то |x-a|=0. Если х≠а, то |x-a|>0; тк |x-a|<Δ,то 0<|x-a|<Δ.

Определение: lim _{( n →а)} а _n = A , если для всякого числа E > 0 существует число Δ > 0 такое, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0<|x-a|<Δ выполняется неравенство:| f(x)-A|<E.

Пример: lim_(х→2) х²+4/х-2= lim_(х→2) х+2=4. lim_(х→0) sin x =0.

 Теорема: отношение синуса бесконечно малого угла к этому углу=1. l im _{( х →0)} sin x/х=1

Определение непрерывности функции с помощью предела. Точки разрыва. Теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного.

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если выполняется условие:   lim _{(х→ х0)} f(x)=f( х₀ ).

Определение непрерывности подразумевает выполнение следующих требований:1) функцияо f(x) пределена в окрестностях x₀ ( т.е.f( х₀ ). существует ). 2)существует lim _(х→х0) f(x)   3) lim _(х→х0) f(x)=f( х₀ ).

Если в x0 не выполняется какое-либо условие непрерывности, то x0 называется точкой разрыва функции . Типы разрывов:

Непрерывность – локальное свойство функции, функция непрерывна на всей числовой оси, если она непрерывна при всех значениях x.            

Функция f(x) yазывается непрерывной на некотором промежутке (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Т1: Если функции f(x) и φ(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма (f(x)+φ(x)) непрерывна в этой точке.

Доказательство.

1) По определению непрерывности: lim _(х→х0) f(x)=f( х₀ );   lim _{(х→ х0)} φ(x)=φ( х₀ ).

Из теор. о пределе суммы двух переменных:lim _(х→х0) [f(x)+φ( х₀)]=lim _(х→х0) f(x) +lim _{(х→ х0)} φ(x)= f(x) +φ(x). чтд

Теоремы о непрерывности произведения и частного доказываются аналогично.

Теорема Больцано-Коши: Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а на концах отрезка принимает значение разных знаков, то существует точка С, в которой функция равна 0. Теорема опровержима, пример – гипербола.

11. Приращение аргумента и функции. Определение неперерывности функции с помощью приращений. Неперрывность функций у=х2, у=sin x. Определение производной. Связь между существование производной и неперерывностьб функции.

Приращение оргумента – разность м/д новым и первоначальным значениями оргумента ∆х=х₂-х₁

Приращение функции - разность м/д значениями ф-ции в новой точке и её значения в первоначальной точке ∆у=f(х+∆х)-f(х)

Определение непрерывности ф-ции спом приращения ∆х : х – фиксированная точка , ∆х задаём произвольно, ∆у – вычисляем по формуле ∆у = f(х+∆х)-f(х). Если ∆х→0, то ∆y→0

Функция у= f ( x ) называется непрерывной в т Х, если бесконечно малому приращению оргумента соответствует беск малое приращение функции. ( Если ∆х→0, то ∆у→0)

Теорема 1. у=х² непрерывна при любом х

Дано: у=х², х любая точка [f(x)=x²], х+∆х новая точка, f(х+∆х) = (х+∆х)² . Доказать у=х² непрерывна   

 Док-во : ∆у = (х+∆х)²-х²= х²+2х ∆х + ∆х² – х²= 2х∆х+ ∆х²    => если ∆х→0, то ∆у→0 ч.т.д.

Теорема 2. у= sin x – непрерывна в любой точке х

Дано: у=sin x, х произвольная точка, ∆х – приращение, )∆у ==sin(х+∆х)–sin x. Док-ть:у=sin x – непрерывна в любой точке х

Док-во:1) ∆у= sin(x+∆х)-sinx=2sin(∆х/2)/cos (x+∆х/2) => 2) (∆у)= 2 │cos x(x+∆х/2)│* │sin(∆х/2)│

3) по теореме: если х>0,то│sin x│< |x|, получаем │sin(∆х/2)│< │∆х│/2

4)Абсолютная величина cos всякого угла ≤ 1 =>│∆у│= 2 │cos x(x+∆х/2)│* |sin(∆х/2)│<2*1*∆х/2 = ∆х =>

 lim_(∆x→0)∆у=0 – непрерывна вточке х

Теорема:каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, где она определена. Исключение – у=(-1)^{х .} Так, у=log_ax неперерывна при х>0; у=1/х непрерывна при х ≠ 0; у=tgх неперывна при cosх ≠0; у=ctgх непрерывна при sinх ≠0.

Производная

Задана фун-ия y=f(x)

 ∆у/∆х – средняя скорость изменения функции.  

Производной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции к приращению оргумента когда приращение оргумента → 0 (у'= lim _{(∆ x →0)} ∆у/∆х ); у' – скорость в точке х.

Связь между существование производной и непрерывностью ф-ции - теорема: Если функция у=f(x) имеет производную в точке х, то она в этой точке непрерывна.

дано у=f(x), х – фиксированная точка, у'(х) – сущ, Док-ть:функция непрерывна

 Док-во. 1) применим формулу для нахождения приращения функции в данной точке по ее производной и бесконечно малой а : ∆у=y'∆х+a*∆х

2) lim_(∆x→0)∆у/∆х = lim_(∆x→0) (y'∆х+a*∆х)=lim_{(∆x→0) (}y'∆х)+ lim_{(∆x→0)  (} a*∆х)=0

Если ∆х→0 то, ∆у→0 => y(x) – непрерывна. чтд

Обратная теорема не верна. Пример- у=|x|. Если у=х, то у>0; если у=-х, то у<0. когда ∆х>0, ∆y=∆х (у=х); когда ∆х<0, ∆у<0. Если ∆х→0, ∆у→0 те функция непрерывна. Когда ∆х>0, ∆у/ ∆х=1; lim_(∆x→0)∆у/∆х =1. Когда ∆х <0, ∆у/ ∆х=-1   lim_(∆x→0)∆у/∆х=-1. Т.о. правый и левый пределы различны, значит, производной не существует. Хотя функция является непрерывной.

Впервые на это обратил внимание Вейерштрас в 1875. Он построил функцию, являющуюся непрерывной, но не имеющий ни в одной точке производной. Это открытие заставило пересмотреть систему существовавших доказательств и перейти от интуитивных определений бесконечно малой и непрерывности к строго определенным.