Вероятность произведения независимых событий. Условная вероятность. Формула полной вероятности.

События А и В независимые, если наступление одного из них не зависит от того наступления другого. Пример: выпадение герба не зависит от выпадения решки, вероятность выпадения герба -1/2, вероятность выпадения на кубе «5»- независимое событие, его вероятность= 1/6; вероятность одновременного выпадения герба и «5» = 1/2*1/6=1/12

Вероятность произведения независимых событий. Р(АВ)=Р(А)*Р(В), если А и В независимые. Пример: 2 стрелка, Р(А)=0,8 – 1 попал, Р(В)=0,7 – 2 попал. Р(АВ)=0,8*0,7=0,56 – попали оба. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=0,2*0,3=0,06 – оба не попали. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)=1,5-0,56=0,94 – попал хотя бы один. Р(АВ+АВ)=0,8*0,3+0,7*0,2=0,38 – попал ровно 1 стрелок.

Правило Р(АВ)+Р(АВ)+Р(АВ+АВ)=1.

Условная вероятность .

Р_А(В) – вероятность события А при условии, что произошло событие В

1. Для зависимых событий: Р(АВ)=Р(А)* РА(В) , где РА(В)-  вероятность события В при условии, что событие А произошло. Пример: в ящике 3 белых и 7 черных шаров. Достаем последовательно без возвращения 2 шара. Какова вероятность того, что они оба белые? Решение. А- 1 шар белый. Р(А)=3/10. В-2 шар белый. Р(В)=2/9 Р(АВ)=Р(А)*РА(В)=1/15.

2. Для независимых событий: РА(В)=Р(В); Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Формула полной вероятности

События Н1, Н2, … Нn образуют полную группу событий ,если в результате испытания обязательно происходит одно и только одно из этих событий; Н1, Н2, … Нn -гипотезы.

1. Н1+Н2+…Нn - достоверные события

2. Нk * Нm – невозможное событие, k≠ m

Рассмотрим случайное событие А. Если проведено испытание и событие А произошло, то произошла одна из гипотез Н1, Н2…Нn

Р(А)=Р[Н1*А+Н2*А+…..+А*Н n ]=Р(АН1)*Р(Н2*А)+…Р(А*Н n )

Р(А)=Р(Н1)*Р_Н1(А)+Р(Н2)*Р_Н2(А)…..+Р(Н n )*Р_{Н n} (А) - формула полной вероятности.

Пример: в магазин поступили изделия с 3 заводов. 60% изготовлено на 1 заводе, 25% - на 2, 15% - на 3. Первый зовод изготавливает 50% изделий 1 сорта, 2- 30%, 3- 10%. Куплено 1 изделие. С какой вероятностью оно 1 сорта?  Решение: А – куплено изделие 1 сорта. Н1- изделие 1 завода, Н2 – 2го, Н3 – зго. Р(Н1)=0,6; Р(Н2)= 0,25; Р(Н3)=0,15. Р_Н1(А)=0,5; Р_Н2(А)=0,3; Р_Н3(А)=0,1. Р(А)=Р(Н1)*Р_Н1(А)+Р(Н2)*Р_Н2(А)+Р(Н3)*Р_Н3(А)=0,5*0,5+0,25*0,3+0,15*0,1=0,39

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства. Закон больших чисел.

Случайная величина – величина, значение которой заранее не известно,тк зависит от многих причин. Сумма вероятностей случайных величин данного события =1. Пример: число мальчиков на 100 новорожденных.

Математическое ожидание - среднее значение случайной величины. М(х)=х1*Р1+х2*Р2+…..+хn*Рn. Пример: 100 чел, 8 зарабатывают 100, 10 – 250, 60 – 400, 20- 600, 2 – 5000. 

средняя з/п=100*8/100+250*10/100+400*60/100+600*20/100+5000*2/100= 493

Св-ва мат ожидания :

1) Мат ожидание постоянной величины = этой постоянной М(с)=с. Док-во. М(х)=с*1=с.

2) постоянный множитель выносится за знак математического ожидания. М(к*х)=кх1Р1+кх2Р2+...+кхnРn= к*М(х)

3)Мат ожидание от суммы случай величин равно сумме ожиданий М(х+у)=М(х)+М(у)

4)Мат ожидание от произведения равно произведению мат ожиданий, если х и у – независимые случайные величины М(х*у)=М(х)*М(у)

Теорема: математическое ожидание отклонения случайной величины от среднего значения равно 0. Д(х)=М[х-М(х)]=0

Док-во: М(х+у)=М(х)+М(у)----М[х-М(х)]=М(х)-М(М(х))=М(х)-М(х)=0, тк М(М(х))=М(х) по св-ву М(с)=с

Дисперсия случайной величины x – Д(х)

Дисперсией случайной величины х называется мат ожиданием квадрата отклонения величины х от её мат ожидания. Д(х)=М[х-М(х)]²

Д(х)= [х₁-М(х)]²*Р₁+[х₂-М(х)]²*Р₂+…..+[х _n -М(х)]²*Р_n

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия от постоянной = 0. Д(с)=0. Док-во: М(х)=с*1=с; Д=[х-М(х)]² = (с-с)²*1 =0*1=0.

2. Д≥0

3. Д[к*х]=к²*Д(х)

4. Дисперсия суммы = сумме дисперсий. Д[х+у]=Д(х)+Д(у) – если х и у независимые случайные величины

Пример

х	1	2	6	7	х-М(х)	1-3=-2	2-3=-1	6-3=3	7-3=4	М[х-М(х)]2	(-2)2 =4	(-1)2 =1	32=9	42=16
Р	0,3	0,4	0,2	0,1	0,3*1+0,2*2+0,6*6+0,1*7=3	0,3	0,4	0,2	0,1	0,3*4+0,4*1+0,2*9+0,1*16=5	0,3	0,4	0,2	0,1

Законы больших чисел

Устойчивость среднего арифметического

Дано х₁, х₂, …х_n – случайные величины

х₁+х₂+...+х_n / n – величина, мало отличающаяся от число а

М(х₁)=а _,     М(х₂)=а , М(х_n)=а .  

Д(х₁), Д(х₂),   Д(х_n) ограничены числом с.

В этом случае справедливо неравенство ‌‌‌‌ (х_{1 +} х₂,+…+ х)/n - а ‌ < ε

Если n достаточно велико, это утверждение верно с большой вероятностью:

Р(‌‌‌‌ (х₁ +х₂ +…+х_n)/n – Q ‌ < ε)→1, если n → ∞ - закон больших чисел

Теорема:

Дано х₁, х₂, …х_n –попарно независимые случайные величины

М(х₁)=Q_{1 ,}     М(х₂)=Q₂ , М(х_n)=Q_n .  

Д(х₁)=Д_1,    Д(х₂)=Д_{2 ,}  Д(х_n)=Д_{n ;} дисперсия меньше некоторого числа с, тогда для всякого ε>0 выполняется следующее утверждение Р(‌‌‌‌ (х₁ +х₂ +…+х_n)/n – (Q₁+ Q₂ + ...+Q_n )/n ‌ < ε)→1, если n → ∞

На базе закона больших чисел основан выборочный контроль.

Равномощность двух множеств. Счетные множества и их свойства.

Сравнение множеств осуществляется на базе установления м-ду ними взаимно-однозначного соответствия( «один к одному»). Функция, задающая взаимно-однозначное соответствие 1) всегда определена 2) на все множество 3) инъективна.

Множества А и В называются равномощными, если между ними каким-либо способом можно установить взаимно-однозначное соответствие. Пример:1) мн-ва четных и нечетных чисел равномощны; 1—2, 3—4, 5—6...) 2) мн-во натуральных чисел равномощно мн-ву их квадратов (парадокс Галилея: мн-во натуральных чисел включает в себя мн-ао квадратов чисел): 1—1, 2—4, 3—9...

 В области бесконечных множеств отказываются от аксиомы «целое больше части».

Множество называется счетным, если оно равномощно с множеством натуральных чисел, N={1,2,3...}. Пример: 1)А- мн-во натуральных чисел, В- мн-во четных чисел. А и В равномощны (1—2, 3—4, 5—6..), ---В -счетное. 2) Аналогично ( 0—1, 1—2, -1—3..) счетным является множество целых чисел.

Теорема 1. Всякое счетное множество можно представить в виде последовательности.

А-счетное мн-во. Установим взаимно-однозначное соответствие с N={1,2,3..}. Какому-то элементу из А соответствует 1 (а1—1). Аналогично а2—2, а3—2. Следовательно, А={а1, а2, а3...}, те последовательность, чтд.

Теорема 2. Сумма счетного и конечного мн-ва – счетное мн-во.

Дано: А-счетное мн-во, В-конечное мн-во. До-кть: А+В – счетное

Док-во. А = {a₁,a₂,a_n...}, B={b₁, b₂, b_n...}. A+B={ b₁, b₂, ... b_{n ,} a₁,a₂,...a_n}. N = { 1,2,3,... p₁, p₂, p_n} Тогда b_1—1, b₂ –2, b_n -- p, a₁, -- p₊₁, a₂, ---.p_+2. a_n ----p+n. Т.о установлено взаимно-однозначное соответствие с N. ---А+В -счетное, чтд.