Развитие математического анализа. Геометрический и механический смысл производной. Производные n-го порядка.

В 18в в Европе в связи с переходом к капитализму, ВГО, развитием промышленности начался прирост математических знаний, связанный с необходимостью создания математического аппарата для изучения движения.

1543 – обнародована гелиоцентрическая система коперника. 17 в Кеплер. Планеты вращаются по эллипсам, в одном из фркусов которых находится Солнце. Радиус-векторы планет «заметают» за равные промежутки времени равные площади. Площадь сложной криволинейной фигуры=сумма площадей бесконечно малых прямоугольников, на которые она разбита ---- создан интеграционный метод вычисления площадей криволинейных фигур.

Ученик Галилея Кавальери разработал интеграционный метод, основанный на представлении о бесконечно малых, при этом неделимая точка при движении порождает линию, линия – плоскость. Ввел ∫ х ^к  dх = х ^к+1/ к+1 =1, при k ≠-1. Позже был открыт ∫ dх/х = ln |x|+ c.

Декарт ввел систему координат, в которой линия и точка признавались геометричесими образами; линия – уравнения f(x,y)=0, точка – пары чисел (а,в). Цель-построение всеобъемлющей математики (ал-ра+геом-я) .

Независимое интегральное исчисление создали Ньютон и Лейбниц.

Ньютон открыл закон всемирного тяготения. 1687 -”Математические начала натуральной философии”. Изучал флюенты - переменные величины, возникающие во результате непрерывного механического движения. Флюенты зависят от времени. Скорость течения флюенты – производная по времени – флюксия. Скорости и ускореня обознначались хŷż – скорость хўž – ускорение, что затрудняло исчисление. Систему Ньютона не признали в Европе. Ее активно критиковал Беркли.

Лейбниц взял за основу идею Ньютона, но ввел удобные обозначения – dx, du. Он разработал понятие дифференциала, функции, кординаты, алгоритма. Система Лейбница прогрессивна.

Формула Ньютона-Лейбница ∫_а f ( x ) dx = F ( x ) + c = F ( b )- F ( a ), где с=const, F - первообразная функции. Позволяет находить значения определенных интегралов и рассчитывать площади криволинейных фигур.

Итак, 18 в – время создания дифференциального и интегральног исчисления.Главной проблемой математики является отсутствие четкого определения и логического обоснования бесконечно малой величины, ее связи с производной и приращением функции. В 19в. Бесконечно малая была обоснована на базе теории пределов (Коши, Абель). Производная стала использоваться для обоснования свойств функций.

у'= lim _{(∆ x →0)} ∆у/∆х - производная данной функции в данной точке - предел отношения приращения функции к приращению оргумента когда приращение оргумента → 0

Производной n-го порядка от функции у=f(x) называется производная первого порядка от (n-1)-го порядка от данной функии. Обозначается символом y ⁽ⁿ⁾ .    y ⁽ⁿ⁾  =[y ^(n-1)  ]'

Пример sin x ⁽ⁿ⁾--?                                                     

                                  1) sin x при n=4к

                                  2)cos x при n=4к+1

    Т.о  y ⁽ⁿ⁾  =     3) – sin x при n=4к+2

                                  4) – cos x при n=4к+3

13. Составлений таблицы производных. Производная от у=х, у=sin x, y=x2. Производная суммы, произведения, дроби. Производная сложной функции.

у'=lim_(∆x→0)∆у/∆х - производная данной функции в данной точке - предел отношения приращения функции к приращению оргумента когда приращение оргумента → 0

Алгоритм нахождения производной: 1) х+ ∆х 2) ∆у =f ( х+ ∆х) – f(x) 3) ∆у/ ∆х 4) у'= lim _{(∆ x →0)} ∆у/∆х

Таблица производных

Теорема: производная от постоянной = 0 ( с'=0)

Дано: у=с  Док-ть: у'= о

Док-во: Графиком функции у=с чвляется прямая у=с || ох. По алгоритму 1)х+ ∆х=с 2)∆у =f ( х+ ∆х) – f(x)=с-с=0   3) ∆у/∆х =0/ ∆х=0 4) у'=lim_(∆x→0)∆у/∆х=lim_(∆x→0) 0=0, чтд

Теорема: производная от аргумента = 1 ( х'=1)

Дано: у=х Док-ть у'=1

Док-во: Графиком функции у=х является прямая, биссектрисой I к.ч. По алгоритму: 1)х+ ∆х 2)∆у =f ( х+ ∆х) – f(x)= х+∆х–х=∆х   3) ∆у/ ∆х=∆х/∆х=1 4) у'=lim_(∆x→0)∆у/∆х=lim_(∆x→0)1=1, чтд

Теорема: (x²)=2х

Дано: у= x² Док-ть: у'=2х

До-во. Графиком функции является парабола, «ветви» вверх. По алгоритму:1)х+ ∆х 2) ∆у =f ( х+ ∆х) – f(x) =( х+ ∆х)²-х²= х²+2х ∆х + ∆х² – х²= 2х∆х+ ∆х²   3) ∆у/ ∆х = 2х∆х+ ∆х² / ∆х = 2х+∆х

4) у'=lim_(∆x→0)∆у/∆х = lim_(∆x→0) (2х+∆х )=2х

 Следовательно (х^k)' = kх^k-1

Теорема: (sin x)'=cos x

Дано: у = sin x Док-ть: (sinx)' = cos x

Док-во. По алгоритму: 1)х+ ∆х 2)∆у =f (х+ ∆х) – f(x)=sin(х+∆х)–sin x=2sin[(х+ ∆х -x) /2 ]*cos [(х+ ∆х +x) /2] 3) ∆у/ ∆х =2sin ∆х/2 * cos[x+ (∆х /2)] 4) у'=lim_(∆x→0)∆у/∆х= [2sin ( ∆х/2)]/ [2 ∆х \2] * cos [x+ (∆х /2) ] =cos x, тк [ 2 sin ( ∆х/2)]/ [2 ∆х \2]= 1 и cos [x+ (∆х /2) ] при ∆х→0 стремится к cos x, чтд.

 Теорема: производная от суммы = сумме производных ( (u+v)' = u' +v')

Дано: u(x), v(x) Док-ть (u+v)' = u' +v'

Док-во. Пусть у=u(x)+v(x), х- точка на ох, в которой u(x) и v(x) имеют производные.

По алгоритму: 1)х+∆х 2) ∆у =f(х+∆х)–f(x)=(u+∆u+v+∆v)-(u+v)=∆u+∆v 3) ∆у/∆х= (∆u+∆v)/∆х=∆u/∆х+∆v/∆х 4) у'=lim_(∆x→0)∆у/∆х = lim_(∆x→0  (∆u/∆х+∆v/∆х)=lim_(∆x→0  (∆u/∆х) + lim_(∆x→0 (∆u/∆х )=u'+v' ( по условию lim_(∆x→0  (∆u/∆х)=u', lim_(∆x→0 (∆u/∆х) = v'), чтд.

Теорема: производная от произведения функций (uv)'=u'v+v'u)

Дано: u(x), v(x) Док-ть (uv)' = u'u +v'u

Док-во. Пусть у=u(x)+v(x), х- точка на ох, в которой u(x) и v(x) имеют производные.

По алгоритму: 1)х+∆х 2)∆у=f(х+∆х)–f(x)=(u+∆u)*(v+∆v)-uv=∆uv+∆vu+∆u∆v  

3)∆у/∆х=(∆uv+∆vu+∆u∆v)/∆х=∆u/∆х*u+∆v/∆х*v+ ∆u/∆х*∆v  

4)у'=lim_(∆x→0)∆у/∆х=lim_(∆x→0(∆u/∆х*u+∆v/∆х*v+∆u/∆х*∆v)=lim_(∆x→0(∆u/∆х*u)+lim_(∆x→0(∆u/∆х*v)+lim_(∆x→0 (∆u/∆х*∆v) =u'v+v'u+u'*0=u'v+v'u ( по условию lim_(∆x→0  (∆u/∆х)=u', lim_(∆x→0 (∆u/∆х) = v', lim_(∆x→0 (∆u/∆х*∆v)= lim_(∆x→0 (∆u/∆х)* lim_(∆x→0 ∆v=u'*0=0), чтд.

Следствие: постоянный множитель можно вынести за знак производной ( (сu)' = c*u' )

Док-во: (сu)' = c'u+u'c = u'c.

Теорема: поизводная от частного (u/v)'=(u'v-v'u)/v²

Дано: u(x), v(x) Док-ть (u/v)' = (u'u -v'u)/v²

Док-во. Пусть у=u(x)+v(x), х- точка на ох, в которой u(x) и v(x) имеют производные.

По алгоритму: 1)х+∆х 2)∆у=f(х+∆х)–f(x)=(u+∆u)/(v+∆v)-u/v=(∆uv-∆vu)/(v+∆v)v 

3)∆у/∆х=[(∆uv-∆vu)/(v+∆v)v ]/∆х=[(∆u/∆х)v-(∆v∆х)u]/(v+∆v)v     

4) у' = lim_(∆x→0)∆у/∆х = lim_(∆x→0[(∆u/∆х)v-(∆v∆х)u]/(v+∆v)v =lim_(∆x→0[(∆u/∆х)v-(∆v∆х)u]/lim_(∆x→0(v+∆v)v                                                                                                                                          

 = (u'v-v'u)/v²      ( по условию lim_(∆x→0  (∆u/∆х)=u', lim_(∆x→0 (∆u/∆х) = v', lim_(∆x→0 (v+∆v)v= v^{2 )} 

Производная сожной функции у=f[ ψ(x)]=y'_u*u'_x

Дано: y=f(u), u= φ(x), y и u имеют проихводные Док-ть: у=f[ψ(x)]=y'_u*u'_x

Док-во. Применяя к функции у=f(u) формулу для нахождения приращения функции в данной точке по ее производной и бесконечно малой а ( ∆у=y'∆х+a*∆х) имеем при ∆u→0 и а→0 :

1) ∆у =f ( u+ ∆u) – f(u) = f_u'∆u+a*∆u  2)∆у/∆х= f_u ' *∆u/∆х+ a*∆u/∆х

по условию lim_(∆x→0)∆u/∆х=u'_x, из существования u'_x, следует, что функция u=φ(x) неперерывна, следовательно при ∆х→0 ∆u→0 , при ∆u→0 а→0, тогда :

3)y'_x=lim_(∆x→0)∆у/∆х=lim_(∆x→0)(f_u ' *∆u/∆х+ a*∆u/∆х)=lim_(∆x→0) f_u ' *∆u/∆х+lim_(∆x→0)  a*∆u/∆х)=f'_u*u'_x=y'_u*u'_x