Частный случай: бинарное произведение одинаковых сомножителей МхМ – подмножество R.

Основные периоды развития математики. Множества. Операции сложения и умножения. Дополнение множества. Теоремы о дополнениях.

Основные периоды развития математики.

1.Период зарождения: 20 в. до нэ – 6в до не. Материальные источники 20в до нэ – Египет - папирусы, Вавилон -глиняные таблички, Индия, Китай. Период зарождения счета, вычисления площадей, простых объемов по шаблону. Наука сакрализована, отвечает на вопрос «как», преподаватели – жрецы. 6в до нэ: Др Греция. Первые математические док-ка. «Почему?». Преподают философы.

2.Математика постоянных величин 6в до нэ - 16в нэ. 6в до нэ - 6в нэ- древнегреческая наука на эллинском языке. 7 в нэ-15в нэ – арабская математика. 16в – Эпоха Возрождения. Аккумуляция предудущих знаний, изобретение комплексных чисел, решение х³=0, х⁴=0; появление формул.

3.Математика переменных величин 17в – 70гг 19в. Изучается движение. (S(t)'=v. Интегральное и дифференциальное исчисление. Декарт – система координат, Ньютон – исследование законов движения, «Математические начала натуральной философии»; Луйбниц – философское рассмотрение математики, введение dx, du

Период современной математики: кон 19в- сегодня.

Функциональные структуры созданы группой французских математиков под псевдонимом Бурбаки (1939-1967 – издание математики в 33 томах - «Элементы»). Аксиоматическое построение математики на юазе теории множеств ( аналочичная система в «Началах» Евклида). Важнейшие структуры:порядка, алгебраические, топологические.

Множество – фундамент математики ( осознано в 19-20в, точное определение отсутствует, тк это первичнный элемент).

Множество обозначается большими буквами А,В,С; элементы -х,у,z. Запись A={1,2,3} читается «Мн-во А состоит из элементов 1,2,3; 1еА, 2еА, 3еА».

Мн-во А=мн-ву В, если они состоят из одних и тех же элементов, порядок которых не важен.

Подмножество мн-ва А – такое мн-во В, что хеВ и хеА. Свойства: Если В – подмножество А, то А+В=А; А*В=В. Пример: А={a,b,c,}; выписать все подмножества. {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c,},{Ø}.

Сумма множеств А и В – мн-во, состоящее из элементов, которые входят в А, или в В, или в и в А и в В; логический смысл суммы мн-в - объединение мн-в;графически показывается затемнением обоих мн-в. Пример A={1,2,3} В={2,4,5,6} A+B={1,2,3,4,5,6}

Свойства сложения: 1) коммуникативность А+В=В=А 2) ассоциаптивность (А+В)+С=А+(В+С) 3) А+А=А.

Произведение мн-в А*В - мн-во, состоящее из тех элементов, которые входят и вА, и в В; логический смысл – пересечение;графически показывается затемнением общий части мн-в. Пример Пример A={1,2,3} В={2,4,5,6} А*В={2}.

Свойства умножения: 1) коммуникативность А*В=В*А 2) ассоциативность (А*В)*С=А*(В*С) 3)А*А=А

Теорема: для операций сложения и умножения справедлив дистрибутивный закон (правило раскрытия скобок) А*(В+С)=АВ+АС.

Док-во: 1) Пусть хеА*(В+С), тогда хеА и хеВ+С по определению произведения мн-в.

Если хеА и хеВ, тогда хеАВ. Если хеАи хеВ, тогда хеАС. Исходя из этого, хеАВ+ВС, чтд. 2) Пусть хеАВ+АС, тогда хеА*(В+С) по определению суммы мн-в. Если хеАВ, то хеА и хеВ. Если хеАС, то хеА и хеС. Исходя из этого хеА ( хеВ или хеС), что по определению суммы и произведения мн-в эквивалентно хеА и хе(В+С). Следовательно, хеА(В+С), чтд.

Мн-во U называется универсальным для системы мн-в А,,В,С,Д, если U содержит все мн-ва системы( АеU, ВеU, СеU, ДеU). Свойства U: 1) А+U=U 2) A*U=A.

Дополнением к мн-ву А называется мн-во Ä, которое состоит из тех и только тех элементов, которые лежат в мн-ве U и не лежат в А ( хе Ä <=> х¢А)

Свойства дополнения 1) А+ Ä =U     2) А* Ä= Ø 3) Ä=А

Теорема:Дополнение к сумме=прозведению дополнений А+В=А*В

Док-во 1) Пусть хеА+В, тогда х¢(А+В), тогда х¢А и х¢В, тогда хеА и хеВ, что по определению умножения мн-в эквивалент хе А*В, чтд 2) Пусть хеА*В, тогда хеА и хеВ, тогда х¢А и х¢В, тогда х¢(А+В), следовательно хеА+В
 Теорема: дополнение к проиведению =сумме дополнений (А*В=А+В)

Док-во: 1) Пусть хеА*В, тогда х¢(А*В), тогда х¢А или х¢В, тогда хеА или хеВ, что по определению суммы мн-в эквивалентно хе(А+В), чтд 2) Пусть хе(А+В), тогда хеА или хеВ, тогда х¢А или х¢В, тогда х¢А*В , следовательно хеА*В, чтд

Прямое произведение .Бинарные отношения. Св-ва рефлексивности , симметричности, транзитивности .Разбиение мн-ва на классы .Основные типы мат.структур.

Пряммым произведением мн-ва А и В называется мн-во АхВ, состоящее из всех упорядоченных пар элементов, в которых первый элемент принадлежит мн-ву А, второй – мн-ву В.

Упорядоченная пара (х,у) е АхВ, ттт, когда хеА и уеВ. Две упорядоченные пары (а,в) и (с,d) равны, если а=с и в=d.

         Пример : А={1,2,3} B={4,5} AxB={(1,4), (1,5),(2,4), (2,5), (3.4),(3,5)}

                                                          BxA={(4,1),(5,1),(4,2),(5,2),(4,3)(5,3)}, те АхВ≠ВхА

                                     Результат прямого произведения зависит от порядка сомножителей.

Теорема : А содержит m элементов, В- n элементов, то АхВ содержит m * n элементов.

Дано: А={а1, а2, ...аm}; В={b1,b2,...bn} Док-ть; АхВ содержит m*n элементов

Док-во: АхВ

Бинарные отношения R - подмножество прямого произведения АхВ

Пример: А={1,2,3} B={4,5} R={(1,4), (1,5),(2,4), (2,5), (3.4),(3,5)}

Частный случай: бинарное произведение одинаковых сомножителей МхМ – подмножество R.

Свойства бинарных отношений:

R рефлексивно на МхМ ,если для любого аеМ, верно (а ,а)е R

R симметрично: для любого а и b из М, верно (а,b)еR =>(b,а)еR

R транзитивность, если для любых а,b,с из М, верно (а,b)еR и (b,с,)еR=> (а, с)еR

Если рефлексивно, симметр, транзит, то R наз.отношением эквивалентности

Конгруентность – совпадение при наложении (а,в)еR c Δ(а,в)

Теорема: всякому отношению эквивалентности R соотв.разбиение мн-ва М на классы; всякому разбиению мн-ва на классы соответствует отн-е эквивалентности ( пример:М- мн-во прямых на плоскости,(а,в)еR? если а//в или а=в; в этом случае задано отношение эквивалентности , благодаря которому вводится понятие направление)

Разбиением мн-ва М на классы называется система его непустых подмножеств, обладающих свойствами: 1) сумма все подмножеств системы равна мн-ву М 2) никакие 2 различных подмножества не содержат общих элементов.

Классы – подмножества, составляющие разбиение мгн-ва М. Пример – классы вычетов по |mod m|, когда в один класс объединяют числа, при делении на m дающие один и тот же остаток.

Важнейшие структуры: порядка (рассматривает социология) , алгебраические( классы вычетов по модулю m, образующие группоиды, группы, кольца, поля) топологические, изучающие движение, непрерывность,окрестность, предел, ограниченность, бескон. и базирующиеся на понятиии расстояния. .