Корреляционно-регрессионный анализ

Корреляционной связью называют важнейший частный случай статистической связи, состоящий в том, что разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения признака X закономерным образом изменяется среднее значение признака У; в то время как в каждом отдельном случае значение признака У (с различными вероятностями) может принимать множество различных значений. Например, увеличение расхода кормов приведет к увеличению продуктивности коров. Однако за один и тот же отрезок времени отдельные животные дадут различный прирост удоя.

Корреляционная связь - это неполная связь между признаками, которая проявляется при большом числе наблюдений (при сравнении средних значений).

Для изучения статистических взаимосвязей применяют два метода анализа - корреляционный и регрессионный. Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между факторами, выявлению неизвестных причин связей и оценке факторов, вызывающих максимальное влияние на результат.

Задача регрессионного анализа лежит в сфере установления формы зависимости, определения уравнения регрессии и его использования для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

Наряду с численностью совокупности и объемом изучаемого явления очень важно иметь также обобщенное представление о значении признака для единицы совокупности. С этой целью используется статистическая средняя, дающая вместо варьирующих значений признака х_i одно-единственное значение х.

По содержанию она представляет собой типический размер признака для данной совокупности определяющих условий.

По способу расчета средняя величина представляет собой соотношение абсолютных показателей объема явления и объема совокупности. Чтобы она действительно отражала типический размер признака, при таком расчете необходимо соблюдать ряд условий. Важнейшее из них - качественная однородность единиц совокупности, наличие одинаковых условий для формирования признака по каждой из них. Для всесторонней характеристики массовых общественных явлений необходимо использовать систему частных и общих средних.

Другое важное условие обоснованности применения средних величин - достаточно большая численность единиц совокупности. Это необходимо для того, чтобы проявил свое действие закон больших чисел, чтобы было много случайных колебаний разной направленности, взаимно погашающих друг друга, позволяющих выявить типичное. Чем больше вариация признаков, тем больше единиц желательно иметь при расчете средней величины. В математической статистике для получения типических средних нижней границей большой выборки считается 30 единиц. На практике при расчете средней следует привлекать данные по всем единицам генеральной совокупности, а по выборкам - не менее 8-10 единиц.

В зависимости от характера изучаемого явления, имеющихся исходных данных и задач исследования используют различные средние величины

Средняя арифметическая простая, как и другие средние, определяется путем сопоставления объема явления и числа единиц совокупности. Ее применяют в том классическом случае, когда известны значения варьирующего признака х_j, по каждой единице однородной совокупности. При этом сначала определяют объем явления и объем совокупности, а затем их соотношение. Средняя величина составит х = х_i/N.

Средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, когда значения признака х_i, известны не по каждой единице совокупности, а по группам единиц численностью n_i,. Такая ситуация возникает, когда по данным наблюдения строят ряды распределения и определяют частоты (веса), а также при расчете средней из других средних по совокупностям с разной численностью единиц. Средняя арифметическая взвешенная, как и простая, определяется отношением общего объема явления к объему совокупности: Х= åx_jn_j/ån_i

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда известно значение варьирующего признака x_j, а численность единиц совокупности непосредственно не дана.

Средняя будет равна х = n/ål/x_j К расчету средней гармонической приходится прибегать довольно часто, когда известны объемы явлений W_j и значения признаков х_i, а частоты неизвестны - скажем, суммы сделок с валютой или акциями по определенной цене, объемы выручки и цена продукции отдельных партий, объем производства продукции животноводства и продуктивность 1 головы.

Х = å_Wi/åW_i/x_i

Средняя хронологическая отличается от других средних тем, что рассчитывается не по совокупности единиц, рассредоточенных в пространстве, а по единицам, представляющим определенные периоды или моменты времени для одного и того же объекта с различными значениями признаков.

Вариация является неотъемлемым свойством статистических совокупностей. При определении средних величин для получения типического размера признака от нее абстрагируются, колеблемость признаков по единицам совокупности погашается.

Размах вариации - разность между крайними значениями признака в ранжированном ряду Хmах и Хmin. Он показывает, в каких пределах колеблется изучаемый признак, и тем самым характеризует меру его вариации. Но этот показатель не учитывает всех остальных значений изучаемого признака, кроме двух крайних, а они могут распределяться по-разному.

Проблема состоит в том, что для получении абсолютного показателя вариации отклонения от средней Х_i-Х нельзя суммировать: они имеют разные знаки, взаимно погашаются, и их сумма всегда равна нулю.

Обойти эту трудность можно, если взять модули отклонений, просуммировать их и рассчитать среднее линейное отклонение. Но пользоваться таким показателем неудобно, поскольку модуль не является стандартной функцией математического анализа, и любые манипуляции с показателем | Х_i-Х | весьма затруднительны. Поэтому принято поступать следующим образом: отклонения от средней возводят в квадрат, и для характеристики общего объема отклонений эти квадраты суммируют. Сопоставляя объем отклонений, определяют средний квадрат отклонений (дисперсию).