Связность топологических пространств

Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:

Х = О₁  О₂.

Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.

Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О₁ и О₂, не имеющих общих точек, то О₁ = CO₂ и O₂ = CO₁. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:

Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.

Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.

Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:

(1)  существуют непустые открытые множества О₁ и О₂, для которых О₁ ∩ О₂ = Æ и  О₁ О₂ = Х;

(2)  существуют непустые замкнутые множества F₁ и F₂, для которых F₁ ∩ F₂ = Æ и F₁ F₂ = Х;

(3)  в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;

(4)  существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О₁ и О₂ непустые открытые множества, для которых О₁ ∩ О₂ = Æ и О₁ О₂ = Х. Рассмотрим множества F₁ = СО₁ и F₂ = СО₂. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F₁ ∩ F₂ = Æ и F₁ F₂ = Х.

Из (2) следует (3). Пусть F₁ и F₂ непустые замкнутые множества, для которых F₁ ∩ F₂ = Æ и F₁ F₂ = Х. Рассмотрим множество G = F₁ Ì Х. Множество F₁ замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F₂ (F₁ = CF₂). Поэтому множество G = F₁ является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.

Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.

Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой

φ(х)=

Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.

Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ(Х) = М. Множества A = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и . Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:

Х = φ ^–1(М) = φ ^–1(А В) = φ ^–1(А) φ ^–1(В),

причём φ ^–1(А) и φ ^–1(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О₁ = φ ^–1(А) и О₂ = φ ^–1(В) непустые, непересекающиеся открытые в Х  и Х = О₁ О₂ . €

Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F₁  и  F₂ и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F₁ F₂. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F₁, либо в F₂.

Доказательство. Пусть F₁ и F₂ дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F₁ F₂. Тогда

М = (М ∩ F₁) (M ∩ F₂).

Так как множества F₁ и F₂ замкнутые в Х, то множества М ∩ F₁ и M ∩ F₂ замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F₂, пустое. Тогда

М = М ∩ F₁ Í F₁. €

Аналогично доказывается

Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О₁ и О₂ топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.

Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.

Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества

Y = O₁ O₂.

В силу того, что f непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G₁ = f ^–1(O₁) и G₂ = f ^–1(O₂) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности. €