Компактность топологических пространств

Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.

Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.

Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.

Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия  множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А. Пусть, например,

.

Очевидно, что множества  образуют искомое конечное подпокрытие множества А. €

Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.

Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.

Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.

Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].

 §2. Связность непрерывных отображений

2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства

Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yÎY прообраз f ^–1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f ^–1(y) называется слоем (над точкой y).

Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой yÎY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f ^–1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y.

Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Í Oy, т.к., если U = U₁ U₂, где U₁, U₂ – непустые дизъюнктные открытые в U  (а значит и в Y ) множества, то

f ^–1(U) = f ^–1(U₁) f ^–1(U₂),   f ^–1(U₁) ∩ f ^–1(U₂) = Æ,

т.е. f ^–1(U) несвязно автоматически.

Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой yÎY, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Í Oy точки y, что трубка f ^–1(U) связна.

Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой y Î Y.

Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f : Х→Y непрерывно и точка y Î Y. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1)  отображение f несвязно над точкой y Î Y;

(2)  существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что каждая трубка f ^–1(U) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;

(3)  существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что каждая трубка f ^–1(U) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;

(4)  существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что в каждой трубке f ^–1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;

(5)  существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для каждой трубки f ^–1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1(U) ® {1, 2}.

Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f : Х→Y  несвязное над точкой y Î Y, т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f ^–1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y.Таким образом, трубка f ^–1(U) над окрестностью U Í Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.

f ^–1(U) = О₁ О₂, О₁ ∩ О₂ = Æ.

Из (2) следует (3). Пусть трубка f ^–1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f ^–1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.

Из (3) следует (4). Пусть трубка f ^–1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f ^–1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.

Из (4) следует (5). Пусть в трубке f ^–1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f ^–1(U) существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1(U) ® {1, 2}.

Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для трубки f ^–1(U) над некоторой окрестностью U Í Oy существует непрерывная сюръективная функция φ : f ^–1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f ^–1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y Î Y . €

Определение 14. Отображение f : Х→Y называется послойно связным, если каждый слой f ^–1(y), где y Î Y, этого отображения является связным множеством.

Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f : X ® Y и  g : Z ® Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ : X ® Z, при котором  f = g φ. Тогда, если отображение f связно над точкой y Î Y (слой f ^–1(y) связен), то и отображение g связно над точкой y Î Y (слой g ^–1(y) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).

Доказательство. Пусть отображения f : X ®Y связное над точкой y Î Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Í Oy точки y, трубка над которой f ^–1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f ^–1(U) (связного слоя f ^–1(y)) связен, т.е.множество  φ(f ^–1(U)) (множество φ( f ^–1(y))) – связное.

Предположим, что отображение g несвязно над точкой y Î Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка g ^–1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. (Предположим, что слой g ^–1(y) несвязен над точкой y Î Y).

По условию, f = g φ, следовательно,

f ^–1(U) = (g φ) ^–1(U) = φ ^–1(g^–1(U)).

Отсюда, 

φ(f ^–1(U)) = φ(φ^–1(g^–1(U))) =g^–1(U)

(для слоя φ( f ^–1(y)) = g^–1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ( f ^–1(U)) связное (слой φ( f ^–1(y)) связен), а множество g^–1(U) (слой g^–1(y)) – нет.

Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y Î Y (каждый слой f ^–1(y) связен). Возьмём произвольную точку y Î Y. Если отображение f связно над этой точкой y Î Y (слой f ^–1(y) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g^–1(y) связен). В силу произвольности выбора точки y, заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y Î Y (послойно связно). €