Обзор методов теплового расчета и существующих моделей

 

В соответствии с разнообразием условий теплоотвода для теплового расчета электрических двигателей используются различные методы [4]:

1. Метод точного или приближенного аналитического решения уравнений для трех- или двухмерных температурных полей обычно применяется при значительной неравномерности поля. При этом зачастую требуются определенные упрощения геометрической формы и граничных условий в математической модели.

2. Численный метод сеток применяется в подобных случаях, но не требует значительных упрощений формы рассчитываемых областей пространства.

3. Метод одномерного температурного поля применяется для расчета распределения температуры по длине обмоток и других частей электрических машин. Основан на приведении трех- и двухмерных полей к одномерному путем упрощенного представления теплопередачи вдоль всех осей координат, кроме одной, с помощью дискретных параметров (тепловых сопротивлений).

4. Метод эквивалентных тепловых схем (ЭТС) получил наибольшее распространение ввиду простоты и достаточной точности расчета. Недостаток метода заключается в том, что он дает не полную картину температурного поля, а только некоторые средние значения температуры для отдельных элементов машины.

Данный метод основан на использовании тепловых сопротивлений [1], которые соединяются в тепловую сеть, имитирующую реальные пути передачи тепловых потоков в машине, и предполагает аналогию теплового потока с электрическим током, основанную на одинаковой форме основного закона теплопроводности (закон Фурье) [6]

 

 (1.15)

 

и электрического тока (закон Ома)

 

, (1.16)

 

где F_т – площадь сечения, перпендикулярного распространению теплоты;

λ – коэффициент теплопроводности;

Δθ – падение температуры на длине δ;

R_т – тепловое сопротивление данного участка на пути теплового потока;

k – удельная электрическая проводимость;

ΔU – разность потенциалов на длине проводника l с сечением F_пр;

R_э – электрическое сопротивление.

Узлы тепловой схемы имитируют отдельные части двигателя. Если в какой-либо части двигателя присутствуют распределенные по объему источники теплоты, то при составлении эквивалентной тепловой схемы они заменяются сосредоточенным источником (источником теплового потока), помещенным в узел, имитирующий эту часть. Узлы с внутренним тепловыделением на схеме обозначаются кружками, узлы без тепловыделения – точками.

Для детального расчета значений температур используют подробные эквивалентные тепловые схемы. Так, например в [2] приводится тепловая схема закрытого обдуваемого двигателя (рисунок 1.2). Система уравнений для данной схемы в установившемся режиме:

 

 (1.17)

 

где m – количество узлов эквивалентной тепловой схемы;

θ_в – температура воздуха снаружи машины;

Λ_ki=1/R_ki – тепловая проводимость соответствующего участка схемы;

Р_i – потери в i-ом узле.

Отметим, что коэффициент теплоотдачи тела А в (1.14) и тепловые проводимости Λ в (1.17) имеют одинаковый физический смысл и размерность. Для расчета нестационарного режима используется та же тепловая схема, но каждый узел соединяется через емкость с внешним воздухом [4]. В этом случае электрическая емкость эквивалентна теплоемкости тела. Система уравнений для нестационарного режима:

 

 (1.18)

 

где С_i – теплоемкость соответствующего узла схемы.

 

Рисунок 1.2 – ЭТС закрытого обдуваемого двигателя, учитывающая неоднородность температуры корпуса

Однако авторы [4] замечают, что пользоваться подробными схемами с большим количеством узлов целесообразно лишь в редких случаях (например, при проектировании системы охлаждения машины). В практических расчетах конкретных машин удобнее использовать упрощенные эквивалентные тепловые схемы. Упрощения состоят в том, что симметричные узлы подробной схемы, находящиеся в приблизительно одинаковых условиях, объединяются (лобовые части обмотки, воздух внутри машины, подшипниковые щиты) и эквивалентными преобразованиями тепловая схема преобразовывается в схему с меньшим количеством узлов – источников тепловыделения. Объединение узлов, по сути, является заменой нескольких источников тепловыделения, сгруппированных по определенным признакам, в один. Так, в [4,9] предлагается приведенная эквивалентная тепловая схема закрытого обдуваемого двигателя (рисунок 1.3).

 

Рисунок 1.3 – Приведенная эквивалентная тепловая схема закрытого обдуваемого двигателя

 

Данная схема имеет шесть узлов: МЛ – лобовая часть обмотки, МП – пазовая часть обмотки, ВВт – воздух внутри машины, Рот – ротор, ССт – сталь сердечника статора, К – корпус двигателя (станина и подшипниковые щиты). Система уравнений нестационарного режима для схемы (см. рисунок 1.3) имеет вид [4,9]:

 

где Δθ_м,л – превышение температуры лобовых частей обмотки;

Δθ_м,п – превышение температуры пазовой части обмотки;

Δθ_с,ст – превышение температуры стали пакета статора;

Δθ_рот – превышение температуры ротора;

Δθ_в,вт – превышение температуры воздуха внутри машины;

Δθ_к – превышение температуры корпуса;

С_м,л – теплоемкость лобовых частей обмотки;

С_м,п – теплоемкость пазовой части обмотки;

С_с,ст – теплоемкость стали пакета статора;

С_рот – теплоемкость ротора;

С_в,вт – теплоемкость воздуха внутри машины;

С_к – теплоемкость корпуса;

Р_м,л – мощность электрических потерь в лобовых частях обмотки;

Р_м,п – мощность электрических потерь в пазовой части обмотки;

Р_с,ст – мощность потерь в стали статора на вихревые токи и гистерезис;

Р_рот – мощность электрических потерь в роторе;

Р_в,вт – мощность механических и добавочных потерь;

Λ_а – тепловая проводимость между лобовой и пазовой частями обмотки;

Λ_м,с – тепловая проводимость между пазовой частью обмотки и сердечником статора;

Λ_м,в-тепловая проводимость между лобовыми частями обмотки и воздухом внутри машины;

Λ_рот,в-тепловая проводимость между ротором и внутренним воздухом; Λ_рот,с – тепловая проводимость между ротором и сердечником статора; Λ_в,к – тепловая проводимость между воздухом внутри машины и корпусом;

Λ_с,к – тепловая проводимость между сердечником статора и корпусом;

Λ_к – тепловая проводимость между корпусом и внешним воздухом.

Системы дифференциальных уравнений (1.18) и (1.19), описывающие процессы нагрева двигателя, по сути, являются тепловыми моделями асинхронного двигателя. Основные факторы, определяющие точность расчета по уравнениям (1.18) и (1.19) следующие:

– точность задания источников теплоты, то есть потерь;

– точность определения тепловых проводимостей Λ, которые в свою очередь зависят:

а) от коэффициентов теплопроводности λ, которые подвержены значительному разбросу по технологическим причинам, под влиянием появления воздушных промежутков и т.п.;

б) от коэффициентов теплоотдачи α, поскольку имеющиеся для их определения эмпирические формулы и графики не могут учесть всех влияющих факторов и условий.

В связи с этим, а так же для сокращения объема вычислений, рядом авторов [7,8,9,10,11,12] предложены упрощенные математические модели нагрева асинхронного двигателя.

Так в [7,8] предложена тепловая модель двигателя, состоящая из двух цилиндров (рисунок 1.4).

 

Рисунок 1.4 – Упрощенная модель двигателя как тела нагрева

Внешний цилиндр с теплоемкостью С₂ моделирует массу железа машины, внутренний с теплоемкостью С₁ – обмотки статора. Мощность теплового потока от стали к окружающей среде пропорциональна коэффициенту А₂. Во внутреннем цилиндре предусмотрен канал, моделирующий отвод теплоты потоками воздуха от внутренних частей машины. Мощность теплового потока от меди статора к окружающей среде пропорциональна коэффициенту А₁. Теплопередача между медью и сталью определяется коэффициентом А₁₂, моделирующим термическое сопротивление изоляции.

Данной модели соответствует система уравнений [7,8]:

 

 (1.20)

 

где Δθ_м и Δθ_ст – превышения температуры меди и стали соответственно над температурой окружающего воздуха.

В [9] авторы получают уравнения, описывающие поведение температуры обмотки двигателя, путем аналитического решения системы (1.19)

, (1.21)

 

и замены решения (1.21), состоящего из шести экспонент, приближенным решением, состоящим из двух экспонент:

 

, (1.22)

 

где θ(t) – текущее превышение температуры обмотки;

θ_уст – превышение температуры в установившемся режиме;

I_i – текущее значение тока статора;

I_н – номинальный значение тока статора;

T_max – максимальная постоянная нагрева (постоянная нагрева стали магнитопровода);

T_min – минимальная постоянная нагрева (постоянная нагрева обмотки);

K_н – коэффициент нагрева, учитывающий составляющую превышения температуры стали в превышении температуры обмотки.

По такому же принципу в [9] рассчитывается охлаждение двигателя после отключения его от сети. Зависимость температуры от времени при охлаждении двигателя описывается следующим выражением:

 

, (1.23)

 

где T_{o max} – максимальная постоянная охлаждения;

T_{o min} – минимальная постоянная охлаждения;

K_о – коэффициент охлаждения.

Значение θ_уст определяется решением (1.19) для установившегося режима, то есть при dθ/dt=0.

По сути дела, в модели [9] двигатель так же представлен двумя телами нагрева: обмоткой статора с минимальной постоянной нагрева T_min и сталью машины с максимальной постоянной нагрева T_max. Недостатком данной модели является отсутствие задания начальных условий.

Самой простой тепловой моделью электродвигателя является представление его одним телом нагрева [7,8,10,11]. При этом вводятся следующие допущения:

1. Электродвигатель имеет бесконечно большую теплопроводность и, как следствие, одинаковую температуру по всему объему;

2. Количество теплоты, которым электродвигатель обменивается с окружающей средой, пропорционально разности температур двигателя и окружающей среды;

3. Тепловые параметры электродвигателя и окружающей среды постоянны и не связаны с температурой двигателя (это обстоятельство обеспечивает линейность тепловой модели).

В этом случае уравнение, описывающее нагрев двигателя:

 

. (1.24)

 

Решение этого уравнения при постоянстве потерь двигателя ΔP=const и, следовательно, постоянном установившемся превышении температуры:

 

, (1.25)

 

где Δθ(t) – текущее превышение температуры двигателя над температурой окружающей среды;

Δθ_уст – установившееся превышение температуры двигателя;

Δθ₀ – начальное превышение температуры двигателя;

Т_θ=С/А – постоянная времени нагрева.

В силу того, что асинхронный двигатель представляет собой сложную термодинамическую систему, неоднородную по своим тепловым параметрам, последняя модель является довольно грубым приближением.