Основное свойство преобразования подобия.

Преобразование подобия плоскости изменяет расстояние между любыми двумя точками плоскости в одном и том же отношении, равном коэффициенту подобия k, т. е. для любых точек М, N и их образов М', N' выполняется равенство |M ^/ N^/|=k .

Доказательство. Пусть относительно Oij точки М и N имеют координаты: М(x₁, y₁), N(x₂, y₂). Тогда =

Образы М' и N' точек М, N имеют соответственно те же координаты (x₁, y₁), (x₂, y₂) относительно системы координат O ^/ i ^/ j^/. Найдём:

 

= = = = = = , так как  и .

Свойства преобразования подобия.

Преобразование подобия плоскости всякую прямую отображает в прямую.

 Преобразование подобия плоскости отображает полуплоскость с границей  в полуплоскость с границей  где .

 Преобразование подобия плоскости сохраняет простое отношение трёх точек прямой.

 Преобразование подобия плоскости сохраняет отношение “лежать между”.

 Преобразование подобия плоскости отображает угол в равный ему угол.

 Преобразование подобия плоскости отображает отрезок в отрезок, луч в луч.

 Преобразование подобия плоскости отображает параллельные прямые в параллельные прямые.

Следствие. Преобразование подобия плоскости отображает параллелограмм в параллелограмм.

 Преобразование подобия плоскости отображает вектор в вектор, сумму векторов в сумму векторов и произведение числа на вектор в произведение того же числа на соответствующий вектор.

Теорема. Если преобразование подобия f с коэффициентом подобия k задано двумя системами координат Oij и O ^/ i ^/ j^/, при этом  и O ^/ ( x ₀ , y ₀ ), то координаты любой точки M ( x , y ) _Oij и её образа M ^/ ( x ^/ , y ^/ ) _O ^/ _i ^/ _j ^/ связанысоотношениями:

 

 где  (1)

Доказательство опирается на определение преобразования подобия, на формулы, связывающие координаты одной и той же точки относительно двух прямоугольных декартовых систем координат, на разложение вектора по базисам.

Замечание. При  системы координат Oij и O ^/ i ^/ j^/ одинаково ориентированы, а при  противоположено ориентированы.

Определение. Преобразование подобия плоскости, определяемое формулами (1) называется преобразованием подобия первого рода при  и преобразованием подобия второго рода при .

Из основного свойства преобразования подобия и верного утверждения, обратного ему (если преобразование плоскости изменяет расстояние между точками в одном и том же отношении, равном k>0, то оно является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k), следует другое определение преобразования подобия. Определение. Преобразованием подобия плоскости с коэффициентом подобия k>0 называется преобразование плоскости, изменяющее расстояние между любыми точками в одном и том же отношении, равном k.

Гомотетия плоскости.

Определение. Гомотетией плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии называется преобразованием плоскости, которое всякой точке М плоскости ставит в соответствии точку М^/ по закону

 

.

Обозначение. - гомотетия плоскости с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии k.

Определение. Гомотетичными называются фигуры  и = .

1) Гомотетичные точки М и М^/ лежат на одной прямой с центром гомотетии О.

2) Точки М и М^/ лежат по одну сторону от центра О, если k>0, и – по разные стороны, если k<0.

3) М ^/ N^/= | k|MN.

4) Гомотетия плоскости является при:

 k=1-тождественным преобразованием;

 k=-1-центральной симметрией.

Формулы гомотетии с центром в начале координат:

 

,

 

Если центр гомотетии имеет координаты S(x₀, y₀), то формулы гомотетии с центром S имеют вид:

 

,

 

Если введем обозначения ,  то получим формулы

 

,

Основное свойство гомотетии.

Для любых точек М, N и их образов ,  имеет место равенство:

 

.

Доказательство. Воспользуемся равенствами:

 

, , ,  и найдём

.

Следствия.

1) Гомотетия с коэффициентом  является преобразованием подобия с коэффициентом подобия , так как из основного свойства следует  или .

2) , если k>0, и , если k<0.

3) Гомотетия плоскости обладает всеми свойствами преобразования подобия, в частности: прямую отображает в прямую, параллельные прямые - в параллельные прямые, Изменяет все расстояния в одном и том же отношении, сохраняет углы.

Характерные свойства гомотетии.

 Гомотетия плоскости имеет одну неподвижную точку – центр гомотетии.

 Гомотетия плоскости отображает прямую, проходящую через центр гомотетии, в себя.

 Гомотетия плоскости ( ) отображает прямую, в параллельную ей прямую, так не проходящую через центр гомотетии.

 Гомотетия плоскости отображает окружность, центр которой совпадает с центром гомотетии, в концентрическую окружность. При этом радиусы окружностей связаны соотношением .

 Всякие две неравные окружности гомотетичны друг другу, при этом, если окружности не являются концентрическими, существуют две гомотетии, отображающие одну из них в другую.

 

 

 

 Гомотетия плоскости является преобразованием подобия первого рода.

Теорема. Всякое преобразование подобия с коэффициентом подобия k можно представить как композицию гомотетии и движения.

1.5 Группа преобразований подобия и её подгруппы

Теорема 1.Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.

Доказательство.

 Если и - преобразования подобия с коэффициентами  и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно  является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов ,  Выполняется равенство . Обозначим  и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому  и композиция  является преобразованием подобия.

 Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как  изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование  изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно,  - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия  и  выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

1) Группа преобразований подобия первого рода;

2) Группа движений и все её подгруппы;

3) Группа гомотетий и параллельных переносов;

4) Группа гомотетий с одним и тем же центром.

Метод подобия

 

Метод подобия оказывается удобным при доказательстве теорем или при решении задач. Этим методом решаются задачи, в которых заданы углы, отношения отрезков и лишь только одно данное условие связано с линейными размерами искомой фигуры. Фигуры, удовлетворяющей всем условиям задачи, кроме того, которое связано с размерами искомой фигуры, подобны между собой. Построив одну из них, а затем, подобрав соответствующим образом, коэффициент подобия, построим искомую фигуру.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, каждая медиана делиться этой точкой в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).

Задача. Построить треугольник АВС, если даны: , отношение сторон АВ:ВС =m:n (m, n-данные отрезки) и медиана к стороне АС.[21]