Понятие преобразования
Изложение теории геометрических преобразований начнём с общих определений. Определение. Отображением f множества X в множество Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу x множества X соответствует вполне определённый элемент y множества Y. O обозначение.f: X Y Элемент y называется образом элемента x, а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f. y= f(x) Определение. Отображение f: X Y называется 1) Инъективным (инъекцией), если каждым двум различным элементам множества X соответствуют два различных элемента множества Y. 2) Сюръективным (сюръекцией), если f(X) = Y, т. е. каждый элемент множества Y является образом, по крайней мере, одного элемента множества X. 3) Взаимно – однозначным или биективным (биекцией), если оно является одновременно сюръективным и инъективным. Определение. Совокупность B всех элементов множества X, образами которых служат элементы множества B', являющегося подмножеством множества Y, называется полным прообразом множества B' при отображении f. Определение. Если f(X) X, то говорят, что множество X отображается в себя. При f(X) =x говорят, что множество X отображается на себя. Определение. Отображение f множества X на множество Y называется обратимым (взаимно - обратным), если образы любых двух различных элементов различны. В этом случае существует обратное отображение f-1 множества Y на множество X. Определение. Отображение множества X на множество Y называется взаимнооднозначным, если каждому элементу множества X ставиться в соответствии один и только один элемент множества Y, и каждый элемент множества Y поставлен в соответствии одному и только одному элементу множества X. Таким образом, при взаимнооднозначном отображении множества X на множество Y. 1) каждому элементу множества X, ставится в соответствии некоторый элемент множества Y; 2) различным элементам множества X, ставится в соответствии различные элементы множества Y; 3) каждый элемент множества X поставлен в соответствие некоторому элементу множества Y. Необходимый и достаточный признак преобразования данного множества – одновременное выполнение двух условий: 1) Каждый элемент множества имеет единственный образ в этом множестве; 2) Каждый элемент данного множества имеет единственный прообраз в этом множестве. Определение. Пусть f и g – два преобразования множества X и для произвольного x X, f(х)=y, g(y)=z, причём y X, z X. Определим отображение , являющееся преобразованием множества X. Преобразование . Называется композицией (произведением) преобразования f и преобразования g. Пишут =g f( =g×f).
(х)=(g×f)(x)=g(f(x))=g(y)=z Определение. Два преобразования f1и f2 одного итого же множества X называются равными, совпадающими, если для любого x X имеет место f1(x)=f2(x). Определение. Преобразование e множества X называется тождественным, если для любого x X, имеет место e(x)=x. Поэтому для любого преобразования f множества e f=f e=e. Определение. При любом преобразовании f объединение множеств отображается на объединение их образов
f (A B)=f(A) f(B). Определение. При любом преобразовании пересечение множеств отображается на пересечение образов этих множеств
f (A B)=f(A) f(B).
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (259)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |