Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости.
Покажем использование предложения на евклидовой плоскости. Теорема Паппа: Если А,С,В - три точки на одной прямой, а A’,C’,B’ - на другой, и если три прямые AB’,CA’,BC’ пересекают прямые A’B,C’A,B’C соответственно, то три точки пересечения P,Q,R коллинеарны.
рис. 1
Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)
рис. 2
При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB’,CA’,BC’ образуют треугольник UVW.(рис. 3)
рис. 3
Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек íP,A’,Bý, íA,Q,C’ý, íB’,C,Rý, íA,C,Вý, íB’,A’,C’ý, лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем. (VP/WP)*(WA’/UA’)*(UB/VB)=1 (VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1 (VB’/WB’)*(WC/UC)*(UR/VR)=1 VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1 (VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC’/VC’)=1 Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух, производя сокращение, мы получаем: (VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1 то есть P,Q,R коллинеарны, теорема доказана. Приложение №1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны. Дано: треугольник PRQ и треугольник P’R’Q’ перспективны относительно точки О. QR||Q’R’, PR||P’R’ Доказать что: QP||Q’P’
Доказательство: Так как QR||Q’R’ и RP||R’P’, то
(OQ/OQ’)=(OR/OR’)=(OP/OP’) Þ (OQ/OQ’)=(OP/OP’) Þ QP||Q’P’
№2.Назовите два треугольника перспективных относительно: а) точки Р б) точки Р’ в) точки D
Ответы: а) треугольники ROQ и EP’F б) треугольники EFP и R’Q’O’ в) треугольники R’RE и Q’QF.
№3. Если А,С,Е - три точки на одной прямой, B,D,F- на другой, и если прямые АВ и CD параллельны прямым DE и FA соответственно, то прямые EF||BC.
1) АС||BD. Рассмотрим параллелограмм ABDE и AFDC Þ BD=AE и DF=AC. Произведем вычитание BD-DF=BF; AE-AC=CE Þ BF=CE Þ BCEF - параллелограмм Þ EF||BC.
2) 3) ACÇBD=0, так как AB||ED и CD||FA, то (|OA|/|OB|)=(|OE|/|OD|) и (|OC|/|OD|)=(|OA|/|OF|) получаем |OB|*|OE|=|OA|*|OD|=|OC|*|OF| Þ (|OE|/|OF|)=(|OC|/|OB|) Þ EF||CB.
№4. Пусть A,B,D,E,N,M - шесть точек, обладающих тем свойством, что прямые AE,DM,NB пересекаются в одной точке и прямые АМ,DB,NE пересекаются в одной точке. Что можно сказать о прямых AB,DE,NM?
Решение. Пусть AEÇDMÇNB=C, AMÇDBÇNE=F обозначим () пересечения прямых АВ и DE через L. По теореме Паппа ()LÎMN Þ ABÇDEÇMN=L. Прямые AB,DE,NM пересекаются в одной точке.
№5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. AA’ÇBB’ÇCC’=S ? Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1- дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.
ABÇ А1В1=P¥ BCÇ В1С1=Q¥ ACÇ А1С1=R¥
лежат на одной несобственной прямой S¥ по обратной теореме Дезарга прямые, проходящие через соответствующие вершины, пересекаются в одной точке S. AA’ÇBB’ÇCC’=S. №6. В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.
Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямой теореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в ()-ах, лежащих на одной прямой Þ ()F,D,B, то есть () пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD. №7. В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии. Требуется доказать, что LNÇMKÇBDÇAC=S Решение.
ACÇLNÇBD - треугольники ALD и СNB - дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме Дезарга Þ ACÇLNÇBD=S. Треугольники DKC и BMA - дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга Þ MKÇBDÇAC=S Получили ACÇBDÇMKÇLN=S. Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
№8. В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие - смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке. Требуется доказать, что ANÇBPÇCM=S. Решение: Треугольники ABC и NPM - дезарговые треугольники.
ABÇNP=Q¥ BCÇMP=R¥ ACÇNM=K¥
лежат на одной несобственной прямой P¥ по теореме обратной теореме Дезарга NAÇBPÇCM=S. №9. В треугольнике АВС из его вершин проведены прямые, пересекающиеся в одной () S; A’=ASÇBC, B’=BSÇAC, C’=CSÇAB. Доказать, что точки BCÇB’C’, ACÇA’C’, ABÇA’B’ лежат на одной прямой. Решение.
Обозначим () пересечения сторон BCÇB’C’, ACÇA’C’, ABÇA’B’ соответственно P,R,Q. Рассмотрим треугольники АВС и А’В’С’ прямые проходящие через вершины этих треугольников пересекаются в () SÞ () пересечения соответствующих сторон P,R,Q лежат на одной прямой. №10. В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую.
Точка А- дезаргова точка Треугольники A’RP и SCB - дезарговы треугольники A’®S SCÇA’R=C’ R®C SBÇA’P=B’ P®B CBÇRP=Q. Точки C’,B’,QÎS - дезаргова прямая. №11. Сформулировать в терминах евклидовой геометрии теорему Дезарга для случая: 1) ()S¥ - несобственная (), дезаргова прямая S - собственная.
Формулировка теоремы Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой. 2) ()S собственная, прямая S¥ - несобственная. Формулировка. Если прямые, походящие через соответствующие вершины двух треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в одной точке и AB||A’B’, B’C||BC, то AC||A’C’.
3) ()S¥ - несобственная, прямая S¥ - несобственная. Формулировка. Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны и AB||A’B’, BC||B’C’, то AC||A’C’.
№12. Прямая p лежит в плоскости треугольника АВС; К=ВСÇp, L=ACÇp, M=ABÇp, R=BLÇCM, S=CMÇAK, T=AKÇBL. Доказать, что прямые AR,BS и CT пересекаются в одной точке. Требуется доказать, что ARÇBSÇCT=Q
Решение Треугольники АВС и RST - дезарговы треугольники. RSÇAB=M TSÇBC=K () M,K,LÎз (по условию) TRÇAC=L
Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга ARÇBSÇCT=Q.
№13. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана ()С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC. Построение.
Выбираем произвольно прямую s, () A,A’Îa и ()ВÎb. 1)ABÇs=P, 2)PA’Çb=B’, 3)ACÇs=R, 4)BCÇs=Q, 5)A’R, B’Q, 6)B’QÇA’R=C’, 7)CC’ искомая прямая. Доказательство: Треугольники АВС и А’В’С’ - дезарговы треугольники, прямая s - дезаргова прямая. ABÇA’B’=P ACÇA’C’=R Îs (по построению) BCÇB’C’=Q
По обратной теореме Дезарга AA’ÇCC’ÇBB’=S. №14. Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. построить () PQÇC, не проводя PQ. Анализ: Произвольно выбираем прямую s, ()Q1ÎC,Q QQ1Q2 - трехвершинник, построить РР1Р2 – трехвершинник,P1ÎC, PQÇP1Q1ÇP2Q2=S Обратная теорема Дезарга. Построение: 1) QQ1Çs=X 2) PXÇC=P1 3) Q1Q2Çs=Y 4) QQ2Çs=Z 5) YP1 6) ZPÇYP1=P2 7) P2Q2Çc=S ()S - искомая точка.
Доказательство: Треугольники QQ1Q2 и PP1P2 - дезарговы. QQ2ÇPP2=Z QQ1ÇPP1=X ÎS (по построению). Q1Q2ÇP1P2=Y
По обратной теореме Дезарга. PQÇP1Q1ÇP2Q2=S Þ PQÇc=S искомая точка.
№15. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b. 1) Анализ: Произвольно выбираем прямую s. ()А,А’Îа, ()ВÎb. Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая ()S¥ - несобственная, прямая s - собственная. Треугольники АВС и А’В’С’ - построить.
2)
5) A’R, B’Q
7) CC’ - искомая прямая.
Треугольники АВС и А’В’С’- дезарговы Формулировка обратной теоремы Дезарга. Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в точках лежащих на одной прямой и АА’||BB’, то СС’||AA’. По этой теореме СС’- искомая прямая.
№18. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию АВ, pÇAD=M, pÇAC=P, qÇBD=N, qÇBC=Q. Доказать, что точка MNÇPQ лежит на прямой АВ. Требуется доказать, что MNÇPQÇAB=K. Решение: Рассмотрим треугольники МРА и NQB. МРÇNQ=S¥, так как p||q. (pÇq=S¥) PAÇBQ=C AMÇBN=D
DC||p||q Þ DCÇpÇq=S¥ Þ C,D,S¥Î одной прямой по теореме обратной теореме Дезарга MNÇPQÇAB=K. Тем самым доказали, что точка МNÇPQÎAB. №17. В евклидовой плоскости даны параллелограмм АВСD, ()РÎCD и прямая l пересекающая стороны АВ и АD. Провести прямую || l. 1) Анализ: Треугольник ANM построен. Построить треугольник СРК. Задача решается с помощью прямой теоремы Дезарга.
2) Построение: 1) NP, AC 2) NPÇAC=S 3) MSÇBC=K 4) KP- искомая прямая. 3) Доказательство: треугольники ANM и CPK - дезарговы, так как ANÇCP=R¥ (AN||CP), CKÇAM=Q¥ (CK||AM) то по теореме Дезарга KPÇNM=F¥ Þ KP||NM. Список литературы 1. Р. Хартсхорн “Основы проективной геометрии”.-М:Мир,1970. 2. Ефимов “Высшая геометрия”-:Наука,1971. 3. Франгулов С.А. “Лекции по проективной геометрии”-Л:ЛГПИ,1975. 4. Вахмянина О.А., Измайлова Т.С. “Пособие по проективной геометрии”-Оренбург:ОГПИ,1994. 5. Коксетер С.М. “Новые встречи с геометрией”-М:Нуака,1978 6. Базылев “Геометрия”-М:Просвещение,1975 7. Потоцкий “Что изучает проективная геометрия ”-М: Просвещение,1982 8. Певзнер “Проективная геометрия”-М:Просвещение,1980 9. Измайлова Т.С. Лекционный курс по проективной геометрии.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (679)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |