Модели проективной плоскости.

1)Рассмотренная ранее расширенная евклидовая плоскость есть модель проективной плоскости.

Доказательство: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.

П1. Пусть P и Q Î

1. Если Р и Q - собственные (), то через них можно провести только одну прямую.

2. Если Р - собственная точка p, а Q- несобственная точка, то по аксиоме А2 $ прямая m, такая, что РÎm и m || l, так , что Q Î пополнению прямой m до прямой из p. Прямая m -единственная прямая p, проходящая через Р и Q.

3. Если Р и Q несобственные (), то через них проходит единственная несобственная прямая.

П2. Пусть заданы прямые l и m.

1.Если l и m - несобственные прямые и l || m, то они пересекаются в некоторой точке. Если l || m, то они пересекаются в несобственной точке Р¥.

2.Если l - собственная прямая, а m - несобственная прямая, то они пересекаются в несобственной точке Р¥.

П3. Непосредственно следует из А3. Необходимо только проверить, что если Р и Q и R неколлинеарны в А, то они не будут коллинеарны в p. Действительно, в p $ только одна (несобсвтенная) прямая, не принадлежащая А, но () Р,Q,R ей не принадлежат.

П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две (). Но в p каждая прямая содержит еще и несобственную точку, поэтому она содержит не менее трех точек.

2) Пополняя аффинную плоскость А из четырех (), мы получим проективную плоскость S1 из семи точек.

Докажем это: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.

Определим () пересечения прямых АВÇCD=N¥, BCÇAD=M¥, АCÇBC=P¥ N¥, P¥, M¥ Î одной несобственной прямой.

П1. Через две различные () плоскости можно провести единственную прямую.

Если А,В - собственные (), то через них можно провести только одну прямую из А. () А,В Î несобственной прямой, поэтому и в S1 через них можно провести единственную прямую.

Рассмотрим А- собственная () и N¥- несобственная (). Через эти точки проходит единственная прямая, так как () N¥ определена как пересечение прямых АВ и CDÞN¥ÎАВ.

Пусть имеем не собственные точки, через них проходит несобственная прямая S1 и она единственная.

П2. " две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точке.

Справедливость аксиомы П2 следует из определения S1.

П3. $ три неколлинеарные точки.

Непосредственно следует из построения аффинной плоскости А. А мы дополнили точками N¥, P¥, M¥ (несобственными, которые принадлежат одной несобственной прямой). И поэтому точки не коллинеарные в А будут неколлинеарные в S1.

П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две точки. В S1 каждая прямая содержит несобственную точку. Следовательно прямая в S1 содержит не менее трех точек.

Все аксиомы проективной плоскости выполняются, следовательно, S1 - проективная плоскость.

3) Связка прямых евклидова трехмерного пространства - модель проективной плоскости, построенной на аксиомах П1-П4.

3) Действительная проективная плоскость (множество упорядоченных троек действительных чисел, одновременно не равных нулю), рассмотренная ранее, удовлетворяет аксиомам П1-П4.

Теорема Дезарга.

Одним из важных результатов проективной геометрии является теорема Дезарга, которая утверждает следующее:

П5 (теорема Дезарга)

Если прямые проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников пересекаются в одной (), то () пересечения соответственных сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

P=ABÇA’B’ AA’ÇBB’ÇCC’=0

Q=ACÇA’C’

R=BCÇB’C’

P,Q,R лежат на одной прямой.

В рамках теории, которую мы строим, не совсем правильно называть это утверждение “теоремой”, потому что нельзя доказать, исходя только из аксиом П1-П4. Примем это утверждение за аксиому П5. Хотя при первом и втором способе построения проективной плоскости это утверждение выступает как теорема.

Покажем, что П5 не есть следствие П1-П4, а именно, построим геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4, но не удовлетворяющую П5.

Определение: Конфигурацией называют множество элементов, именуемых точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняется аксиома.

К1. Две различные () принадлежат не более чем одной прямой.

Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей точки

Примеры: Любая аффинная и " проективная плоскость являются конфигурациями. Набор 10 точек и 10 прямых теоремы Дезарга - тоже конфигурация.

Пусть p0- некоторая конфигурация. Мы определим свободную проективную плоскость П, порожденную p0.

Пусть p1- новая конфигурация, определенная следующим образом. Точками p1 являются точки p0. Прямыми p1 являются все прямые p0; кроме того, каждая пара точек Р1, Р2Î p0 не принадлежащая прямой из p0, задает новую прямую

í Р1, Р2ý из p1. Тогда p1 обладает следующим свойством;

а) " две различные ()p1 принадлежат одной прямой. Построим p2, исходя из p1, следующим образом. Точками p2 служат все точки p1; кроме того, каждая пара непересекающихся прямых l1,l2 задает новую точку l1Çl2. Прямыми p2 служат прямые p1, пополненные новыми точками; например, () l1Çl2 Î дополненным прямым l1 и l2. Тогда p2 обладает следующим свойством.

б) " две различные прямые имеют общую точку; продолжим это построение. Для четных n мы построим pn+1 из pn, добавляя к прямым pn новые прямые; для нечетных n мы построим pn+1 из pn, добавляя к () pn новые точки.

Пусть теперь П= Èpn

Элементы конфигураций pn мы назовем точками П; далее, прямой П мы назовем подмножество LÍП, такое, что LÇpn есть прямая из pn для всех достаточно больших n.

Предложение 1: Если p0 содержит по меньшей мере четыре точки, никакие три из которых не принадлежат одной прямой, то П - проективная плоскость.

Доказательство: pn удовлетворяет б) для четных n и удовлетворяет а) для нечетных n Þ на П выполняются оба свойства а) и б), то есть П удовлетворяет П1 и П2. Если P,Q,R неколлинеарны на p0, значит, П3, тоже выполняется.

Покажем, что в П каждая прямая содержит хотя бы три точки.

Каждая прямая из П определяется двумя точками.

По П2: " две прямые имеют общую ()

Пусть l: íP1,P2ý, m: íP3,Р4ý;                  по П2: lÇm=P5ÞP5Îl, P5Îm

Получим, каждая прямая содержит хотя бы три точки.

Все аксиомы проективной плоскости выполняются Þ П- проективная плоскость.

Определение: Ограниченной конфигурацией называется конфигурация, у которой каждая () принадлежит не менее чем трем прямым, а каждая прямая содержит не менее трех различных точек.

Пример: Конфигурация теоремы Дезарга ограничена.

Предложение 2: " конечная ограниченная конфигурация из П содержится в p0.

Доказательство: Уровнем () РÎП мы назовем наименьшее n³0,такое, что РÎpn. Уровнем прямой LÍП мы назовем наименьшее n³0, такое, что LÇpn - прямая.

Пусть S - ограниченная конечная конфигурация из П, и пусть n- максимальный из уровней всех точек и всех прямых из S.

Предположим, что n - уровень какой-то прямой LÍS (Если максимальный уровень достигается для точки, то доказательство аналогично).

Тогда lÇpn - прямая, а lÇpn-1 не является прямой. Если n=0, то все доказано, SÍp0. Предположим, что n>0. Тогда l возникла как прямая, соединяющая две () из pn-1, не принадлежащие в pn-1 одной прямой. Но в S уровень всех точек £ n, а значит, они принадлежат pn, то есть l содержит не более двух таких точек. Полученное противоречие и доказывает наше предложение.

Пример: Недезаргова проективная плоскость.

Пусть p0 состоит из четырех точек и не содержит ни одной прямой, П- свободная проективная плоскость порожденная p0.

В качестве следствия из предыдущего предложения получаем, что П бесконечно; следовательно," прямая содержит бесконечно много точек. Значит можно выбрать четыре () О,А,В,С, " три из которых неколлинеарны, и затем А’на ОА, B' на ОВ, С’ на ОС так, что они образуют семь различных точек, причем A’,B’,C’ неколлинеарны. Тогда построим Р=АВÇА’В’, Q=ACÇA’C’, R=BCÇB’C’. Все 10 точек различны. Если теорема Дезарга была бы не верна на П, то P,Q,R принадлежали бы одной прямой, Þ 10 () и 10 прямых образовали бы ограниченную конфигурацию; но тогда она должна была бы содержаться в p0, а p0 содержит всего лишь четыре точки.

Построили геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4 и не удовлетворяющую П5, тем самым показали, что П5 не является следствием П1-П4.