Перспективные и проективные отображения.

Определение: Проективное отображение- это отображение прямой l на l' (быть может, совпадающую с l), которое, может быть представлено как композиция перспективных отображений.

Обозначение: l – l’ или АВС…-А’В’С’…

Последняя запись означает, что проективное отображение переводит точки А,В,С,….соответственно в A',B',C',….

Проективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямых l и l' и является отображением на l'.

Определение: Перспективным отображением прямой l на прямую l' (обе прямые рассматриваются как множество точек) с центром О (точка О не принадлежит ни l, ни l') называется отображение А®A', где для произвольной точки АÎl точка А' находится как ОАÇl'.

Обозначение l = l’ ("l переводится в l' перспективным отображением с центром в ()О". Отметим, что перспективное отображение устанавливает взаимно однозначное                                               соответствие между точками

l и l' и является отображением

l на l' и что отображение, обратное

перспективному отображению,

также является перспективным отображением. Если ()Х=lÇl', то Х (как точка l) переходит в Х (как точку l'). Композиция двух или более перспективных отображений уже не обязательно будет перспективным отображением: так мы имеем l = l’ = l’’ и ABCY = A’B’C’Y’ = A’’B’’C’’Y’’ если бы полученное в результате композиции отображений l = l и l = l отображение l на l'’ было перспективным, то в точку lÇl’'=Y оно должно было бы переводить в себя. Однако у переходит в точку Y'', которая не совпадает с Y. Поэтому мы ввели проективное отображение.

Предложение 1: Пусть, задана прямая l. Тогда множество проективных преобразований (взаимно однозначное отображение множества М на себя называется преобразованием множества М). l образует группу. Это означает, что 1)композиция двух проективных отображений снова есть проективное отображение. 2)отображение, обратное проективному отображению, снова есть проективное отображение.

Предложение 2: Пусть задана прямая l и пусть А,В,С и A',B',C'- две тройки ее различных точек. Тогда $ проективное преобразование l, переводящее А,В,С в A',B',C'.

Доказательство: Пусть l'- прямая отличная от l и не проходящая через А и А’, а О произвольная точка не принадлежащая ни l, ни l'. Спроектируем из О точки A',B',C' прямой l в точки A’’,B’’,C’’, прямой l’: A'B'C' = A''B''C'', где АÏl’ и А’’Ïl.

Ясно, что нам достаточно построить проективное отображение l на l’, переводящее A,B,C, в A’’,B’’,C’’.

Заменим в обозначениях двойные штрихи одинарными и забудем про исходные A’,B’,C’. Таким образом, наша задача свелась к следующей. Заданы две различные прямые l и l’. Пусть А,В,С- три различные точки l, а A’,B’,C’-три различные точки l’, предположим что AÏl’ и A’Ïl. Требуется построить проективное отображение l на l’, переводящее А,В,С соответственно в A’,B’,C’. Проведем прямые AA’,AB’,AC’,A’B,A’C и положим AB’ÇA’B=B’’, AC’ÇA’C=C’’. Обозначим прямую B’’C’’ через l’’; пусть она пересекает AA’ в A’’. Тогда l = l’’ = l’ переводит ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’.

Таким образом, мы построили искомое проективное отображение l на l’ как композиция двух перспективных отображений.

Предложение 3: Проективное отображение переводит гармоническую четверку точек в гармоническую четверку.