Модели проективной плоскости.

Глава 1. Определение проективной плоскости на базе трехмерного векторного пространства.

Понятие проективной плоскости.

Рассмотрим определение проективной плоскости Р2. Понятие проективной плоскости строится на базе трехмерного векторного пространства V3.

Определение: Не пустое множество Р2 называется проективным плоскостью, если существует отображение j множества ненулевых векторов V3 в Р2 удовлетворяющее двум условиям:

1) Отображение j сюрьективно.

2) Образы 2-х векторов совпадают, эти векторы линейно зависимы.

j(х)=j(у)Û х,у – линейно зависимы.

 

Свойства проективной плоскости.

Рассмотрим свойства проективной плоскости Р2.

1) Через " две () проективной плоскости проходит единственная прямая.

Доказательство: Рассмотрим проективную плоскость Р2 построенную на базе V3.

Пусть точка А порождена вектором  аÎV3 (т.е. j(а)=А).

() В порождена bÎV3(т.е. j(b)=В);

a // b т.к. порождают различные точки. Тогда на вектора a , b можно натянуть двумерное векторное пространство L(a,b), которое на проективной плоскости порождает прямую l. Очевидно прямая l проходит через () А и В.

V1(а)=A      V1ÌV2 Þ AÎ l

V1(b)=B       V1'ÌV2 Þ BÎ l

Единственность: Действительно, пусть l '- произвольная прямая проходящая через () А и В, а L'- двумерное подпространство, которое порождает прямую l ' так как АÎl ' и ВÎl ', то аÎL' и bÎL' Þ L' - подпространство натянутое на векторы а и b . Таким образом L и L'- одно и тоже векторное подпространство Þ прямые l и l ' совпадают.

2) На проективной плоскости "две прямые пересекаются.

Доказательство:

Р2 построено на базе V3

прямая l -V2 ÌV3

прямая m -V2' ÌV3

1) V2¹V2', так как l ¹m

2) V2ÇV2'=V1 - порождает ()А; lÇm =A

так как V1ÌV2 Þ AÎl

V1ÌV2'Þ AÎm; ()А - единственная.

 l и m пересекаются в единственной ()А.

3) Точки проективного пространства Р3 называются линейно зависимыми (линейно независимыми), если векторы порождающие их из пространства V4 линейно зависимы (линейно независимы).

На проективной плоскости $ три линейно независимые точки и они не лежат на одной прямой. Так как в V3 $ тройка линейно независимых векторов {e1,e2,e3}, то эта тройка на проективной плоскости порождает тройку линейно независимых точек Е1, Е2, Е3.

Покажем, что эти точки не лежат на одной прямой. Если бы эти точки принадлежали одной прямой, то вектора порождающие их должны были принадлежать V2, чего быть не может, так как эти вектора линейно независимы.

Вывод: точки Е1, Е2, Е3 не лежат на одной прямой и эти точки Е1, Е2, Е3 - линейно независимы.

4) На каждой прямой лежит не менее трех точек.

Доказательство: Прямой lÎP2 соответствует в векторном пространстве V3 двумерное подпространство V2. Пусть V2 натянуто на векторы a и b. Вектор с = a + b , сÎV2. Соответствующие точки А,В,СÎl и различны.

Вывод: На каждой прямой лежит не менее трех точек.

Замечание: Любая четверка точек проективной плоскости линейно зависима.

 

Модели проективной плоскости.

1) Связка прямых в трехмерном евклидовом пространстве Е3.

Связкой прямых в Е3 называется множество прямых пространства проходящих через некоторую фиксированную ().

Эта () - называется центром связки.

Пространство Е3 построено на базе V3. Зададим отображение j множества ненулевых векторов на связку по закону каждому вектору A поставим в соответствии прямую ОА связки, чтобы ОА // a.

 

Проверим выполняемость аксиом проективной плоскости.

 1)j- сюрьективно, так как у " прямой ОМ всегда будет хотя бы один прообраз вектор m // ОМ

2)если 2 вектора коллинеарны a // a1, то образы совпадают - это будет прямая ОА, j(a)=j(a1)=OA.

Если образы 2-х векторов совпадают, то векторы коллинеарны.

Построенная конструкция является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют прямые связки, с роль проективных прямых выполняют плоскости связки.

Проанализируем, как выполняются свойства проективной плоскости.

Свойства проективной плоскости	Реализация на модели
1)Через две любые точки проходит единственная прямая 2)" две прямые на проективной плоскости пересекаются 3)$ три () не лежащие на одной прямой   4) на каждой прямой лежит не менее трех точек	1)Через две прямые связки проходит единственная плоскость связки 2)" две плоскости связки пересекаются по прямой связки 3)$ три прямые связки не лежащие в одной плоскости связки 4)Каждой плоскости связки принадлежит не менее трех прямых этой связки

2)Рассмотрим вторую модель - расширенная евклидова плоскость.

Рассмотрим в пространстве связку с центром в ()О и плоскость p не проходящую через ()О и зададим отображение j плоскости p в связку с центром в ()О по закону: "()А плоскости p ставится в соответствии прямая ОА.

 

 

j- биективно? т.е. любой ли прямой связки будет соответствовать прообраз? Ответ: нет. Прямые связки параллельные p не имеют прообразов и такие прямые называют особыми. Таких прямых будет бесчисленное множество и все они лежат в плоскости связки, которая параллельна p. Такую плоскость назовем особой плоскостью. Для того, чтобы отображение j сделать биективным и получить новую модель проективной плоскости дополним евклидову плоскость p "несобственными элементами".

Рассмотрим особую прямую связки m, m // p, и проведем через эту прямую не особую плоскость a, a(m)Çp=a, a// m.

" прямая (не особая прямая) связки Îa имеет свой прообраз на прямой a.

Поставим в соответствие прямой m не собственную ()М ¥, которая Îa.

 

 

Проведем через особую прямую m другую не особую плоскость b b(m)Çp =b , a // b // m, так как каждая не особая прямая b имеет прообраз на прямую b, то прообраз особой прямой m не собственная ()М¥Îb. Если рассмотрим другую особую прямую n, то должны поставить в соответствие свою несобственную ()N¥.

Каждая не особая плоскость связки имеет на плоскости p своим прообразом прямую пересечения этой плоскости с плоскостью p.a-a ,b-b. Поставим в соответствие особой плоскости несобственную прямую l¥, тогда так как все особые прямые лежат в единственной особой плоскости, то все несобственные точки лежат на единственной несобственной прямой.

Определение: Расширенной евклидовой плоскостью p называется евклидова плоскость дополненная несобственными элементами: несобственными точками и единственной несобственной прямой, причем все прямые параллельные между собой дополняются одной и той же несобственной точкой и все несобственные точки лежат на единственной несобственной прямой.

Отображение j: p ® связку стало биективным, так как связка прямых является моделью проективной плоскости, то и расширенная плоскость pявляется моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой модели выполняют собственные и несобственные точки. Роль проективных прямых выполняют собственные прямые плоскости p и несобственная прямая.

Рассмотрим выполняемость свойств проективной плоскости на построенной модели.

Свойства проективной плоскости	Выполнение свойств на модели
1)через две любые точки проходит единственная прямая     2)" две прямые пересекаются	1) а)()А,В собственные и через них проходит единственная прямая АВ б) А,В¥ через А проводим прямую a¤¤b прямая АВ¥ в)А¥, В¥- лежат на единственной несобственной прямой l¥.  2) а)a, b- собственные aÇb=А б)a, b собственные но с евклидовой точки зрения ¤¤, а как прямые расширенной плоскости aÇb=А¥ в)a, b¥ A¥ÎA, A¥Îb¥ Þ AÇb¥=A¥

3)Третья модель проективной плоскости.

В трехмерном евклидовом пространстве дана сфера. Под ()М будем понимать две диаметрально противоположные точки сферы, под прямой множество пар диаметрально противоположных точек лежащих на окружности большого радиуса. Докажем, что построенное множество является проективной плоскостью. ()N=íN',N''ý, ()K=íK',K''ý.

 

 

Рассмотрим связку с центром в ()О и зададим отображение j:A®íA',A''ý (прямой связки соответствует пара диаметрально противоположных точек пересечения этой прямой со сферой). j - биективно Þ построенная конструкция является моделью проективной плоскости.

Проверим выполняемость свойств проективной плоскости.

Свойства:

1)Через " две точки проходит единственная прямая

 - через две пары диаметрально противоположных точек сферы íМ',М''ý и íN',N''ý проходит единственная окружность большого радиуса.

2)" две прямые проективной плоскости пересекаются

-" две окружности большого радиуса пересекаются в диаметрально противоположных точках.

3)$ три точки не лежащие на одной прямой

-$ три пары диаметрально противоположных точек Ï одной окружности большого радиуса. Например: точки N={N',N''},K={K',K''},P={P',P''}.

4)На каждой прямой лежит не менее трех точек

-рассмотрим окружность большого радиуса через ()О можно провести три различных диаметра, каждый диаметр пересекает данную окружность в диаметрально противоположных точках. Это означает, что на каждой прямой лежит не менее трех точек.

 

Теорема Дезарга.

При данном способе построения проективной плоскости имеет место теорема Дезарга, которая гласит:

Теорема: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

ABÇA'B'=P, ACÇA'C'=Q, BCÇB'C'=R, AA'ÇBB'ÇCC'=O,

P,Q,R- лежат в одной прямой?

 

 

Доказательство:

Рассмотрим векторы O,A,A',B,B',C,C',P,Q,R порождающие соответствующие (), так как А,А',О лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно зависимы, т.е. O= aA + a'A'.

Из того, что В', В, О - лежат на одной прямой Þ В, В', О- линейно зависимы Þ O= bB + b'B'

()С, С', О - лежат на одной прямой Þ O= cC + c'C'

aA + a'A' = bB + b'B' = cC + c'C'

aA - bB = b'B' - a'A' = P (1)

А,В,Р - линейно зависимы Þ () А,В,Р Î одной прямой, А',В',Р'- линейно зависимы Þ()А',В',Р' Î одной прямой.

P=ABÇA'B'

aA - cC = c'C' - a'A' (2)

А,С,Q- линейно зависимы Þ()А,С,Q Î одной прямой.

А',С',Q'- линейно зависимы Þ()А',С',Q' Î одной прямой.

Следовательно, Q=АСÇА'С'

bB - cC = c'C' - b'B' = R (3)

В,С,R –линейно зависимы Þ()В,С,R Î одной прямой.

В',С',R' –линейно зависимы Þ()В',С',R' Î одной прямой

Следовательно, R=ВСÇВ'С'.

Составим выражение:

 - векторы  линейно зависимы Þ ()P,Q,R лежат на одной прямой.

Теорема доказана.

Принято называть трехвершинники, удовлетворяющие теореме Дезарга, дезарговыми. ()О=АА'ÇВВ'ÇСС'- дезарговой, прямую, которой принадлежат точки P,Q,R - дезарговой. Для теоремы Дезарга имеет место обратная теорема:

Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.

В

Замечание: Трехвершинник - это фигура, которая состоит из трех точек не лежащих на одной прямой и прямых проходящих через каждую пару этих точек.

 

 

 

А,В,С- вершины прямые АВ,ВС,АС- стороны

Теорема Паппа.

Следующей составляющей данной теории является теорема Паппа- Паскаля, которая является частным случаем теоремы Паскаля. Сформулируем теорему Паскаля.

 

 

         рис. 1             

 

Теорема Паскаля: Для того, чтобы шесть точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой принадлежали овальной кривой, необходимо и достаточно, чтобы точки пересечения соответствующих сторон шестивершинника* лежали на одной прямой. AB’ÇA’B=P,AC’ÇA'C=Q, BC’ÇB’C=R.(рис. 1)

 P,Q,R принадлежат прямой (прямая Паскаля)

Рассмотрим теорему Паскаля в том частном случае, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Пусть А,В,С,А',В',С'- шесть вершин шестиугольника Паскаля, расположенных по три на данных прямых l и l ', которые мы рассматриваем как распавшуюся кривую второго порядка (рис 2). Тогда имеем следующие три точки пересечения пар соответствующих сторон шестиугольника: Р=АВ'ÇА'В, Q=А'СÇАС', R=ВС'ÇВ'С. По теореме Паскаля эти три точки лежат на одной прямой. Рассмотренный частный случай теоремы Паскаля был известен древним греческим геометрам и носил название теоремы Паппа. Теперь эта теорема носит название Паппа - Паскаля.

                                                                                                                   Рис. 2

*шестивершинником называется фигура состоящая из последовательности шести ()А1, А2, А3, А4, А5, А6 называемых вершинами и шести прямых А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, А6А1 называемых сторонами.

 

 

 

Мы рассмотрели один из подходов к определению проективной плоскости, а именно определения проективной плоскости на базе трехмерного векторного пространства.

Теперь рассмотрим аналитическое определение проективной плоскости.